Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025

Conjuntos: união, interseção e complementar em problema de pesquisa

Gabarito: letra E (ERRADO). As informações apresentadas NÃO permitem inferir que o número de jovens que estudam ou trabalham é maior que o dos que não estudam nem trabalham — na verdade, as duas quantidades são IGUAIS. Isso decorre diretamente do dado do enunciado: o número dos que estudam e trabalham é igual ao dos que não estudam e não trabalham. Como o total de jovens é 300, e o conjunto dos que estudam ou trabalham é o complementar do conjunto dos que não estudam nem trabalham, a igualdade entre esses dois grupos faz com que cada um corresponda exatamente à metade do total (150 jovens cada).

Vamos entender o problema com a teoria dos conjuntos. Temos um conjunto universo U com 300 jovens. Definimos dois conjuntos: E = jovens que estudam, e T = jovens que trabalham. O enunciado nos dá duas informações:

1. O número dos que estudam E trabalham (interseção E ∩ T) é igual ao número dos que NÃO estudam E NÃO trabalham (complementar da união, ou seja, (E ∪ T)^c).

2. O número dos que estudam (n(E)) é igual ao número dos que trabalham (n(T)).

A pergunta é: o número dos que estudam OU trabalham (união E ∪ T) é maior que o dos que não estudam nem trabalham ((E ∪ T)^c)?

A chave está na primeira informação: n(E ∩ T) = n((E ∪ T)^c). Vamos chamar essa quantidade comum de x. Assim, temos x jovens que estudam e trabalham, e x jovens que não estudam nem trabalham.

Agora, o total de jovens é a soma de quatro grupos disjuntos:

• Apenas estudam (E \ T)

• Apenas trabalham (T \ E)

• Estudam e trabalham (E ∩ T) = x

• Não estudam nem trabalham ((E ∪ T)^c) = x

Portanto: n(E \ T) + n(T \ E) + x + x = 300.

A união E ∪ T é formada pelos que apenas estudam, apenas trabalham, e estudam e trabalham: n(E ∪ T) = n(E \ T) + n(T \ E) + x.

Substituindo na equação do total: n(E ∪ T) + x = 300, ou seja, n(E ∪ T) = 300 − x.

O complementar da união é (E ∪ T)^c = x.

Comparando: n(E ∪ T) = 300 − x e n((E ∪ T)^c) = x. Para que a união seja maior que o complementar, precisaríamos de 300 − x > x, ou seja, 300 > 2x, ou x < 150.

Mas será que conseguimos determinar x? Vamos usar a segunda informação: n(E) = n(T).

n(E) = n(E \ T) + n(E ∩ T) = n(E \ T) + x n(T) = n(T \ E) + n(E ∩ T) = n(T \ E) + x

Como n(E) = n(T), temos n(E \ T) + x = n(T \ E) + x, logo n(E \ T) = n(T \ E). Vamos chamar essa quantidade de y.

Então:

• n(E \ T) = y

• n(T \ E) = y

• n(E ∩ T) = x

• n((E ∪ T)^c) = x

Total: y + y + x + x = 300 → 2y + 2x = 300 → y + x = 150.

A união é n(E ∪ T) = y + y + x = 2y + x.

O complementar é x.

Queremos saber se 2y + x > x, o que equivale a 2y > 0, ou seja, y > 0.

Mas y + x = 150, e x ≥ 0, então y ≤ 150. Se y > 0, a união é maior que o complementar. Porém, o enunciado não nos dá o valor de y ou x individualmente — apenas a soma y + x = 150. Portanto, não podemos afirmar com certeza que y > 0. Por exemplo, se y = 0 e x = 150, então a união seria 2×0 + 150 = 150, igual ao complementar (150). Se y = 50 e x = 100, a união seria 2×50 + 100 = 200, maior que o complementar (100).

A pegadinha está em achar que a igualdade entre interseção e complementar garante algo sobre a união. Na verdade, a relação entre união e complementar é de complementaridade: n(E ∪ T) + n((E ∪ T)^c) = 300. Se um é x, o outro é 300 − x. A igualdade entre interseção e complementar não fixa x, pois x pode variar de 0 a 150 (já que y = 150 − x ≥ 0).

Portanto, as informações são insuficientes para concluir que a união é maior que o complementar. O item está ERRADO.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que as informações permitem inferir que o número de jovens que estudam ou trabalham é maior que o dos que não estudam nem trabalham. Isso é falso, pois, como demonstrado, a igualdade entre interseção e complementar não determina o valor da união. A união pode ser igual ao complementar (quando y = 0) ou maior (quando y > 0), dependendo dos valores específicos que não foram fornecidos. Portanto, não é possível inferir a relação de grandeza pedida.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa correta, pois o item está ERRADO. As informações apresentadas são insuficientes para afirmar que o número de jovens que estudam ou trabalham é maior que o dos que não estudam nem trabalham. A única conclusão possível é que a interseção (estudam e trabalham) é igual ao complementar da união (não estudam nem trabalham), mas isso não fixa o tamanho da união em relação ao complementar. Como vimos, a união pode ser igual ou maior, dependendo dos valores de y e x.

Gabarito: letra E (ERRADO).