Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
ce415102
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
MPE CE
Ano
2025
Cargo
Ana Min ( )
Uma pesquisa realizada com 180 profissionais que trabalham no Ministério Público de determinado estado revelou que 95 deles gostam de atuar na área criminal, 125 gostam de atuar na defesa dos direitos coletivos e difusos, e 65 gostam de atuar na defesa do patrimônio público e social. Nessa mesma pesquisa, verificou-se também que 60 profissionais gostam de atuar nas áreas criminal e de defesa dos direitos coletivos e difusos, 40 gostam de atuar nas áreas criminal e de defesa do patrimônio público e social, 40 gostam de atuar nas áreas de defesa dos direitos coletivos e difusos e de defesa do patrimônio público e social, e 20 gostam de atuar nas três áreas citadas. Com base nessa situação hipotética, julgue o item seguinte. Considere que, em certo mês, sejam autuados 900 processos e que estes serão distribuídos, proporcionalmente, entre os conjuntos A (profissionais que gostam de atuar em apenas uma das áreas mencionadas), B (profissionais que gostam de atuar em apenas duas das áreas mencionadas) e C (profissionais que gostam de atuar nas três áreas). Nesse caso, caberá aos profissionais do conjunto A atuar em menos de 300 processos.
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GabaritoE — Errado
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Conjuntos: distribuição proporcional e o princípio da inclusão-exclusão
Gabarito: letra E (ERRADO). O conjunto A (profissionais que gostam de atuar em apenas uma das áreas) tem 60 integrantes, e não menos de 300 processos caberão a eles — na verdade, caberão exatamente 300 processos, pois 60/180 = 1/3 e 1/3 de 900 = 300. A afirmação de que caberá "menos de 300" é, portanto, falsa.
Para resolver a questão, precisamos primeiro entender o que cada conjunto representa. Temos três áreas de atuação: criminal (C), defesa dos direitos coletivos e difusos (D) e defesa do patrimônio público e social (P). A pesquisa nos dá o total de profissionais que gostam de cada área, as intersecções entre pares de áreas e a intersecção tripla. O conjunto A é formado por quem gosta de atuar em apenas uma das áreas; o conjunto B, por quem gosta de apenas duas; e o conjunto C, por quem gosta das três.
O princípio da inclusão-exclusão é a ferramenta central aqui. Para três conjuntos, a fórmula é:
Substituindo os valores do enunciado:
Isso significa que 165 profissionais gostam de pelo menos uma das áreas. Como a pesquisa foi feita com 180 profissionais, 15 não gostam de nenhuma das três áreas. Esse dado não é usado diretamente na distribuição dos processos, mas é importante para conferir a consistência dos números.
Agora, para encontrar quantos gostam de apenas uma área (conjunto A), precisamos subtrair, do total de cada área, aqueles que também gostam de outras áreas. Vamos calcular passo a passo:
Apenas criminal: 95 (total) - 60 (criminal e D) - 40 (criminal e P) + 20 (as três, pois foram subtraídos duas vezes) = 15.
Apenas D: 125 - 60 - 40 + 20 = 45.
Apenas P: 65 - 40 - 40 + 20 = 5.
Somando: 15 + 45 + 5 = 65. Portanto, o conjunto A tem 65 profissionais.
A distribuição dos 900 processos é proporcional ao tamanho dos conjuntos. O conjunto A tem 65 de 180 profissionais, ou seja, 65/180 = 13/36 do total. Aplicando isso aos 900 processos:
Portanto, caberão 325 processos aos profissionais do conjunto A, que é mais de 300, não menos. A afirmação do item é falsa.
A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, é preciso calcular corretamente o tamanho do conjunto A usando o princípio da inclusão-exclusão, e não simplesmente somar os totais de cada área. Segundo, a distribuição proporcional exige dividir o número de processos pela fração correta — 65/180, e não 60/180 (que seria o número de profissionais que gostam de criminal e D, por exemplo).
Distribuição proporcional de processos — só Apenas uma área: 65; só Apenas duas áreas: 80; só Três áreas: 20; Apenas uma área∩Apenas duas áreas: 0; Apenas uma área∩Três áreas: 0; Apenas duas áreas∩Três áreas: 0; Apenas uma área∩Apenas duas áreas∩Três áreas: 0
Item — ❌ ERRADO
O item afirma que caberá aos profissionais do conjunto A atuar em menos de 300 processos. Como calculamos, o conjunto A tem 65 profissionais, e a distribuição proporcional resulta em 325 processos para eles. Como 325 > 300, a afirmação é falsa.
O erro do candidato pode estar em calcular o conjunto A como 60 (confundindo com a intersecção entre criminal e D) ou em errar a fração da distribuição. O correto é:
Conjunto A (apenas uma área) = 65 profissionais.
Fração de A = 65/180 = 13/36.
Processos para A = (13/36) × 900 = 325.
Como 325 não é menor que 300, o item está errado.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre o número de profissionais que gostam de apenas uma área (65) e o número que gosta de uma área específica (por exemplo, 95 gostam de criminal). Além disso, o candidato pode esquecer de subtrair as intersecções duas vezes (adicionando a intersecção tripla) e obter um valor errado para A. Para evitar isso, monte o diagrama de Venn mentalmente e calcule cada região separadamente.
PEGA ESSA DICA!
Em questões de conjuntos com três categorias, sempre comece pela intersecção tripla e vá subtraindo para encontrar as regiões de "apenas dois" e "apenas um". Anote os valores no diagrama de Venn para não se perder. Depois, para a distribuição proporcional, lembre-se de que a fração é sempre (parte)/(total), e multiplique pelo total de processos.