Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — CESPE / CEBRASPE 2025

Área do círculo e setor circular: pivô central

Gabarito: letra E (ERRADO). A área circular total irrigada pelo pivô é de aproximadamente 0,5024 km², valor inferior a 5 km². O raio do círculo é a distância do ponto C ao ponto D, igual a 400 m, e a área é calculada por $A = \pi r^2 = 3,14 \times 400^2 = 502.400\ \text{m}^2 = 0,5024\ \text{km}^2$.

A questão apresenta um contexto de irrigação por pivô central, mas o núcleo matemático é o cálculo da área de um círculo. O ponto C é o centro do pivô, e o ponto D está a 400 m de distância, o que significa que o raio do círculo irrigado é 400 m. A informação sobre o setor circular com ângulo $\alpha$ e área igual a 1/12 da área total é um dado adicional que não é necessário para resolver o item, pois a área total depende apenas do raio.

A fórmula da área do círculo é $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio. Substituindo os valores, temos $A = 3,14 \times 400^2 = 3,14 \times 160.000 = 502.400\ \text{m}^2$. Para comparar com 5 km², precisamos converter a unidade. Sabemos que 1 km = 1.000 m, então 1 km² = 1.000.000 m². Portanto, $502.400\ \text{m}^2 = \frac{502.400}{1.000.000}\ \text{km}^2 = 0,5024\ \text{km}^2$. Como 0,5024 é menor que 5, a afirmação de que a área é superior a 5 km² é falsa.

A pegadinha da questão está na conversão de unidades. O candidato pode calcular a área em metros quadrados (502.400 m²) e, sem converter corretamente, comparar com 5 km², achando que 502.400 é maior que 5. No entanto, a comparação só é válida se ambas as grandezas estiverem na mesma unidade. A conversão correta mostra que 502.400 m² equivalem a apenas 0,5024 km², um valor muito menor que 5 km².

Outro ponto que pode confundir é a presença do setor circular. O enunciado menciona que o setor tem área igual a 1/12 da área total, mas isso não altera o cálculo da área total. O raio é a distância do centro até qualquer ponto da circunferência, e o ponto D está a 400 m do centro C, então o raio é 400 m. O ângulo $\alpha$ e a fração 1/12 são informações extras que não influenciam a resposta.

Para fixar o conceito, lembre-se de que a área de um círculo depende apenas do raio. Qualquer informação sobre setores, segmentos ou ângulos é irrelevante para o cálculo da área total. A conversão de unidades é um passo crucial: para transformar m² em km², dividimos por 1.000.000 (já que 1 km = 1.000 m, e a área é uma medida bidimensional).

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a área circular total irrigada é superior a 5 km² está incorreta. O cálculo correto é:

$A = \pi r^2 = 3,14 \times 400^2 = 3,14 \times 160.000 = 502.400\ \text{m}^2$

Convertendo para km²:

$502.400\ \text{m}^2 = \frac{502.400}{1.000.000}\ \text{km}^2 = 0,5024\ \text{km}^2$

Como 0,5024 km² < 5 km², a área não é superior a 5 km². O erro comum é comparar 502.400 (em m²) com 5 (em km²) sem converter, o que levaria a uma conclusão equivocada.

Gabarito: letra E (ERRADO).