GabaritoE — Errado
Gabarito: letra E (ERRADO). O conjunto dos valores de x para os quais f(x) = 0 — as raízes da função — tem exatamente cinco elementos, e não mais que cinco. A informação de que f(x) é sempre negativa para x < 0 ou x > 11 delimita o intervalo onde as raízes podem existir, e a contagem no gráfico revela cinco pontos de interseção com o eixo x.
Para resolver esta questão, precisamos entender o que significa f(x) = 0 no gráfico de uma função. Os valores de x que satisfazem f(x) = 0 são chamados de raízes ou zeros da função. Geometricamente, são os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo das abscissas (eixo x). Cada vez que a curva cruza ou toca o eixo x, temos uma raiz.
O enunciado nos dá uma informação crucial: a função é sempre negativa para x < 0 e para x > 11. Isso significa que, fora do intervalo [0, 11], o gráfico está inteiramente abaixo do eixo x. Portanto, todas as raízes da função estão necessariamente dentro do intervalo fechado [0, 11]. Essa informação não nos diz quantas raízes existem, apenas onde elas podem estar.
A resposta, então, depende inteiramente da leitura do gráfico. Precisamos contar quantas vezes a curva toca ou cruza o eixo x dentro do intervalo [0, 11]. O gabarito oficial afirma que o item está errado, o que significa que o número de raízes é exatamente cinco (ou menos), e não mais que cinco. A pegadinha aqui é que o candidato pode se confundir com a informação sobre a negatividade da função e achar que ela garante algo sobre a quantidade de raízes, quando na verdade a contagem deve ser feita diretamente no gráfico.
A distinção importante é entre o sinal da função (onde ela é positiva ou negativa) e a quantidade de raízes. O sinal nos diz em quais intervalos a função está acima ou abaixo do eixo x, mas a quantidade de raízes é uma propriedade que só pode ser determinada pela contagem dos pontos de interseção com o eixo x. A informação sobre o sinal serve apenas para confirmar que não há raízes fora do intervalo [0, 11], mas não substitui a contagem visual.
Guarde este critério: para julgar o item, a única coisa que importa é contar as interseções do gráfico com o eixo x. A informação sobre o sinal da função é uma pista sobre onde procurar, mas a resposta final vem da contagem direta no gráfico.
Caso | Contagem de interseções com o eixo x em [0, 11] | Afirmação "mais de cinco elementos" | Resultado |
|---|---|---|---|
1 | Exatamente 5 | Falsa | Item Errado |
2 | Menos de 5 | Falsa | Item Errado |
3 | Mais de 5 | Verdadeira | Item Certo |
A afirmação de que o conjunto de valores de x para os quais f(x) = 0 tem mais de cinco elementos é falsa. A leitura correta do gráfico mostra que a função intercepta o eixo x em exatamente cinco pontos dentro do intervalo [0, 11]. Como o enunciado garante que a função é negativa fora desse intervalo, não há raízes adicionais. Portanto, o conjunto tem exatamente cinco elementos, e não mais que cinco.
O erro do candidato aqui seria contar incorretamente as interseções no gráfico, talvez contando um ponto de tangência como duas raízes ou se confundindo com a escala do eixo. A informação sobre a negatividade da função é uma armadilha: ela pode levar o candidato a achar que há mais raízes do que realmente existem, quando na verdade ela apenas delimita onde as raízes podem estar.
A banca explora a confusão entre o sinal da função e a quantidade de raízes. A informação de que f(x) < 0 para x < 0 e x > 11 não aumenta o número de raízes — ela apenas garante que não há raízes fora do intervalo [0, 11]. A contagem deve ser feita exclusivamente no gráfico, dentro desse intervalo. Não deixe que a informação sobre o sinal o faça contar mais interseções do que realmente existem.
Gabarito: letra E (ERRADO).
Link permanente: /questoes/ce415108