Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2025

Análise do crescimento da função f(x)

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que f(x) será sempre crescente para x > 1 é falsa, pois o gráfico da função, conforme descrito no enunciado, apresenta um intervalo de decrescimento após o ponto de máximo, antes de atingir a raiz em x = 11. A função é crescente apenas até o seu ponto de máximo, que ocorre em um valor de x menor que 11, e a partir daí passa a decrescer até tocar o eixo x em x = 11. Portanto, para valores de x maiores que esse ponto de máximo (mas ainda menores que 11), a função já estará decrescendo, contrariando a afirmação.

Para entender por que a afirmação está errada, precisamos revisar o conceito de função crescente e decrescente. Uma função é dita crescente em um intervalo quando, para quaisquer dois pontos $x_1$ e $x_2$ desse intervalo, com $x_1 < x_2$, temos $f(x_1) < f(x_2)$. Em outras palavras, à medida que x aumenta, o valor da função também aumenta. Geometricamente, o gráfico "sobe" da esquerda para a direita. Por outro lado, a função é decrescente quando $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) > f(x_2)$, ou seja, o gráfico "desce".

O enunciado nos informa que a função é definida para todos os reais e que é sempre negativa para $x < 0$ ou $x > 11$. Isso significa que a função cruza o eixo x (torna-se zero) em algum ponto entre 0 e 11, e também em $x = 11$ (ou antes, mas o texto sugere que a partir de 11 ela é negativa). O gráfico, portanto, deve ter um formato que começa negativo, sobe, cruza o eixo x, atinge um valor máximo (pico), desce novamente, cruza o eixo x em $x = 11$ e continua negativa para $x > 11$. Esse comportamento é típico de uma função quadrática com concavidade para baixo, como $f(x) = -a(x - r_1)(x - r_2)$, onde $r_1$ e $r_2$ são as raízes.

A afirmação do item diz que a função será sempre crescente se $x > 1$. Isso só seria verdade se o ponto de máximo da função estivesse em $x = 1$ ou à esquerda dele, e a função continuasse crescendo indefinidamente. Mas sabemos que a função é negativa para $x > 11$, o que implica que ela deve cruzar o eixo x em algum ponto e depois decrescer. Se ela fosse sempre crescente para $x > 1$, ela nunca cruzaria o eixo x novamente, pois continuaria aumentando. Isso contradiz a informação de que $f(x) < 0$ para $x > 11$. Portanto, a função deve ter um ponto de máximo em algum $x$ entre 1 e 11, e a partir daí ela decresce.

Vamos ilustrar com um exemplo concreto. Suponha que a função seja $f(x) = -x^2 + 11x - 10$. Essa função tem raízes em $x = 1$ e $x = 10$ (verifique: $-1 + 11 - 10 = 0$ e $-100 + 110 - 10 = 0$). Ela é negativa para $x < 1$ e $x > 10$, e positiva entre 1 e 10. O vértice (ponto de máximo) ocorre em $x = -b/(2a) = -11/(-2) = 5.5$. Para $x > 5.5$, a função é decrescente. Assim, para $x = 6$, $f(6) = -36 + 66 - 10 = 20$, e para $x = 7$, $f(7) = -49 + 77 - 10 = 18$. Veja que $f(7) < f(6)$, ou seja, a função está decrescendo. Isso mostra que a afirmação "sempre crescente para x > 1" é falsa, pois a partir de $x = 5.5$ ela decresce.

A pegadinha da questão está em generalizar o comportamento da função a partir de um único ponto. O candidato pode olhar para o gráfico e ver que a função sobe até um certo ponto, e erroneamente concluir que ela continua subindo para todo x maior que 1. Mas o gráfico mostra claramente que após o pico, a função desce. A banca explora exatamente essa confusão entre "crescente em um intervalo" e "crescente em todo o domínio".

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A afirmação está errada porque a função não é crescente em todo o intervalo $x > 1$. Ela é crescente apenas até o seu ponto de máximo, que ocorre em algum valor de x entre 1 e 11. Após esse ponto, a função passa a ser decrescente, como evidenciado pelo fato de que ela é negativa para $x > 11$ e, portanto, deve cruzar o eixo x e descer. O erro específico é a generalização indevida: a função é crescente em um subintervalo de $(1, \infty)$, mas não em todo ele.

Gabarito: letra E (ERRADO).