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Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
ce415114
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Cargo
Sup Ped ( )
Duas circunferências A e B de raios iguais a 4 cm e 1 cm, respectivamente, são tangentes entre si. A reta r é tangente às circunferências A e B nos pontos P e Q, respectivamente. Com base nas informações apresentadas, assinale a opção que corresponde à distância entre o ponto P e o centro da circunferência B.
  1. A3 cm
  2. B4 cm
  3. C5 cm
  4. D42cm4\sqrt{2} cm
  5. E17cm\sqrt{17} cm
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — \sqrt{17} cm

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a √17 cm — alternativa E.

A ideia por trás

Quando uma reta é tangente a uma circunferência, ela toca a circunferência em um único ponto e é perpendicular ao raio nesse ponto. Isso significa que a distância do centro da circunferência até a reta é exatamente o raio. No problema, temos duas circunferências de tamanhos diferentes tangentes entre si e uma reta que as toca, formando uma figura com triângulos retângulos escondidos.

O Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Ele vale para qualquer triângulo com um ângulo reto. Aqui, a distância entre os centros das circunferências é a soma dos raios (5 cm), e a diferença entre os raios (3 cm) é um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é essa distância. O outro cateto é a distância entre os pontos de tangência P e Q.

Esta questão pede uma distância que não é imediata: precisamos construir um triângulo retângulo auxiliar, usando o fato de que os raios são perpendiculares à reta tangente, e então aplicar Pitágoras duas vezes.

O que a questão dá

  • raio da circunferência A = 4 cm

  • raio da circunferência B = 1 cm

  • as circunferências são tangentes entre si

  • a reta r é tangente a ambas, tocando A em P e B em Q

O que queremos: a distância entre o ponto P (tangência da reta com a circunferência A) e o centro da circunferência B

Passo 1 — Calcular a distância entre os centros

As circunferências são tangentes entre si, então a distância entre seus centros é a soma dos raios. Esse valor será a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo que vamos montar.

Por que esta fórmula: Para circunferências tangentes externamente, a distância entre os centros é a soma dos raios, pois elas se tocam em um único ponto e os centros ficam em lados opostos desse ponto.

OAOB=rA+rBO_AO_B = r_A + r_B

De onde vem cada valor: rAr_A = enunciado: 4 cm · rBr_B = enunciado: 1 cm

OAOB=4+1=5 cmO_AO_B = 4 + 1 = \boxed{5\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a diferença dos raios em vez da soma, o que daria 3 cm e quebraria toda a construção.

Passo 2 — Achar a distância entre os pontos de tangência

Precisamos da distância horizontal entre P e Q, que será um cateto do triângulo que contém a distância procurada. Essa distância é a mesma que a distância entre as projeções dos centros na reta r.

Por que esta fórmula: Os centros O_A e O_B, junto com as projeções na reta r, formam um triângulo retângulo: a hipotenusa é a distância entre os centros (5 cm), um cateto é a diferença dos raios (3 cm), e o outro cateto é a distância entre P e Q. Aplicamos Pitágoras.

PQ2=OAOB2−(rA−rB)2PQ^{2} = O_AO_B^{2} - (r_A - r_B)^{2}

De onde vem cada valor: OAOBO_AO_B = passo 1: 5 cm · rAr_A = enunciado: 4 cm · rBr_B = enunciado: 1 cm

PQ2=52−(4−1)2=25−9PQ^{2} = 5^{2} - (4 - 1)^{2} = 25 - 9
PQ=4 cmPQ = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair os raios e usar 5 como cateto, o que daria PQ = 0.

Passo 3 — Montar o triângulo para a distância pedida

A distância entre P e o centro O_B não é direta, mas forma um triângulo retângulo: um cateto é a distância vertical entre P e O_B (diferença dos raios, 3 cm) e o outro é a distância horizontal entre eles, que é a mesma PQ (4 cm).

Por que esta fórmula: Como a reta r é tangente, os raios são perpendiculares a ela, então o segmento que liga P a O_B tem uma componente vertical (diferença dos raios) e uma horizontal (PQ). Essas componentes são perpendiculares, formando um triângulo retângulo.

d2=(rA−rB)2+PQ2d^{2} = (r_A - r_B)^{2} + PQ^{2}

De onde vem cada valor: rAr_A = enunciado: 4 cm · rBr_B = enunciado: 1 cm · PQPQ = passo 2: 4 cm

d2=(4−1)2+42=9+16d^{2} = (4 - 1)^{2} + 4^{2} = 9 + 16
d=√17cmd = \boxed{√17 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância entre os centros (5 cm) como cateto, o que daria d = √(5²+3²) = √34, errado.

Resposta: √17 cm — alternativa E

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