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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
ce415115
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Cargo
Sup Ped ( )

Certo professor ministra aulas para uma turma de 8 alunos e decidiu passar tarefas de casa por dez semanas consecutivas. Para incentivar os estudantes a fazê-las, ele estabeleceu o seguinte sistema de notas como parte da avaliação: a turma começará com 100 pontos; a cada semana, o professor sorteará aleatoriamente 4 estudantes; se nenhum dos estudantes sorteados tiver feito a tarefa, a turma perde 8 pontos; se todos os estudantes sorteados tiverem feito a tarefa, a turma ganha 12 pontos; se, ao final, a turma alcançar mais que 100 pontos, a pontuação excedente será aproveitada na nota de outra avaliação.

Texto 4A1-I

   

Considerando a situação hipotética apresentada no texto 4A1-I, assinale a opção na qual é apresentado o número de maneiras distintas que o professor poderá sortear os estudantes que terão seus cadernos vistoriados semanalmente.

  1. A32
  2. B70
  3. C80
  4. D210
  5. E6.720
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GabaritoB — 70

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 70 maneiras distintas — alternativa B.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos agrupar elementos. Quando escolhemos um subconjunto de um conjunto maior e a ordem de escolha não importa — ou seja, o grupo {Ana, Bruno, Carla, Diego} é o mesmo que {Bruno, Diego, Carla, Ana} —, usamos a combinação simples. Ela responde a perguntas do tipo 'de quantas maneiras posso escolher p pessoas entre n disponíveis?'.

A combinação simples de n elementos tomados p a p é dada por C(n,p) = n! / [p! · (n-p)!]. O fatorial n! é o produto de todos os inteiros de 1 até n. O denominador p! elimina as ordenações internas do grupo escolhido, e (n-p)! elimina as ordenações dos não escolhidos. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, que é maior; a combinação é sempre menor ou igual ao arranjo para os mesmos n e p.

Esta questão pede exatamente o número de grupos de 4 alunos que podem ser formados a partir de 8, sem hierarquia entre eles. A palavra 'sortear' indica que a ordem do sorteio não cria grupos diferentes, então a ferramenta é a combinação simples.

O que a questão dá

  • total de estudantes na turma = 8

  • estudantes sorteados por semana = 4

O que queremos: o número de maneiras distintas de escolher 4 estudantes entre 8

Passo 1 — Montar a combinação de 8 tomados 4 a 4

Como a ordem dos sorteados não importa (o grupo {A, B, C, D} é o mesmo que {D, C, B, A}), usamos a combinação simples. Aqui, n é o total de alunos (8) e p é quantos escolhemos (4).

Por que esta fórmula: A combinação C(n,p) = n! / [p! · (n-p)!] conta os subconjuntos de tamanho p. O fatorial no denominador remove as permutações internas do grupo e as dos não escolhidos.

C8,4=8!4!⋅(8−4)!C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: total de estudantes · 44 = enunciado: estudantes sorteados por semana

C8,4=8!4!⋅4!C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o (n-p)! no denominador, o que daria 8! / 4! = 1680, um valor de arranjo.

Passo 2 — Expandir os fatoriais e simplificar

Calcular fatoriais grandes diretamente é trabalhoso. Expandimos 8! até 4! para cancelar o 4! do denominador, sobrando apenas a multiplicação dos números de 8 a 5.

Por que esta fórmula: 8! = 8·7·6·5·4!, então o 4! do numerador e o 4! do denominador se cancelam, simplificando a conta.

C8,4=8⋅7⋅6⋅5⋅4!4!⋅4!=8⋅7⋅6⋅54⋅3⋅2⋅1C_{8,4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

De onde vem cada valor: 8⋅7⋅6⋅58 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = definição: expansão de 8! até 4! · 4⋅3⋅2⋅14 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = definição: 4! do denominador

C8,4=8⋅7⋅6⋅54⋅3⋅2⋅1C_{8,4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 8·7=56, 56·6=336, 336·5=1680; e 4·3·2·1=24. Confundir a ordem dos fatores pode levar a 1680/24 = 70, mas se errar um produto, o resultado sai diferente.

Passo 3 — Calcular a divisão final

Com o numerador e o denominador simplificados, resta apenas uma divisão para obter o número de combinações.

Por que esta fórmula: A divisão 1680 ÷ 24 é a última operação da fórmula da combinação.

C8,4=168024C_{8,4} = \frac{1680}{24}

De onde vem cada valor: 16801680 = passo 2: 8·7·6·5 · 2424 = passo 2: 4·3·2·1

C8,4=1680÷24=70C_{8,4} = 1680 \div 24 = \boxed{70}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer a divisão errada: 1680 ÷ 24 = 70, mas alguns podem calcular 1680 ÷ 24 = 70,0 e confundir com 700 se não prestarem atenção.

Resposta: 70 maneiras distintas — alternativa B

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