Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Equações de Primeiro Grau
Código
ce415116
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Cargo
Sup Ped ( )
Certo professor ministra aulas para uma turma de 8 alunos e decidiu passar tarefas de casa por dez semanas consecutivas. Para incentivar os estudantes a fazê-las, ele estabeleceu o seguinte sistema de notas como parte da avaliação: a turma começará com 100 pontos; a cada semana, o professor sorteará aleatoriamente 4 estudantes; se nenhum dos estudantes sorteados tiver feito a tarefa, a turma perde 8 pontos; se todos os estudantes sorteados tiverem feito a tarefa, a turma ganha 12 pontos; se, ao final, a turma alcançar mais que 100 pontos, a pontuação excedente será aproveitada na nota de outra avaliação. Considerando a situação hipotética apresentada no texto 4A1-I, assinale a opção em que é apresentada uma pontuação excedente que pode ser alcançada pela turma em apreço.
A25 pontos
B34 pontos
C48 pontos
D57 pontos
E62 pontos
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GabaritoC — 48 pontos
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 48 pontos — alternativa C.
A ideia por trás
Uma equação do primeiro grau é uma igualdade que envolve uma incógnita elevada à primeira potência, e resolvê-la significa descobrir qual valor da incógnita torna a igualdade verdadeira. Aqui, porém, a incógnita não é um único número, mas uma combinação de duas quantidades: quantas semanas a turma ganha e quantas semanas ela perde. O excedente final é o resultado dessa combinação.
A relação que governa o problema é uma equação linear com duas variáveis: E = 12a - 8b, onde a é o número de semanas com ganho, b o número de semanas com perda, e E o excedente. Cada semana contribui com um valor fixo: +12 ou -8. Como 12 e 8 são múltiplos de 4, qualquer combinação 12a - 8b também será múltipla de 4. Além disso, a e b são inteiros não negativos e a soma a + b não pode passar de 10, pois há apenas 10 semanas.
Esta questão cobra a modelagem de uma situação em uma equação do primeiro grau e a verificação de quais valores são possíveis. O ponto-chave é perceber a restrição de divisibilidade: o excedente só pode ser múltiplo de 4, o que elimina várias alternativas de imediato.
O que a questão dá
pontuação inicial = 100 pontos
número de semanas = 10
ganho por semana (todos fizeram) = 12 pontos
perda por semana (nenhum fez) = 8 pontos
O que queremos: o excedente de pontos que a turma pode alcançar, entre as opções
Passo 1 — Montar a equação do excedente
Precisamos traduzir o enunciado em uma expressão matemática. A turma começa com 100 pontos; a cada semana, ou ganha 12 ou perde 8. Se chamarmos de a o número de semanas com ganho e de b o número de semanas com perda, o excedente E é a soma dos ganhos menos as perdas, pois o excedente é o que ultrapassa os 100 iniciais.
Por que esta fórmula: Cada semana de ganho adiciona 12 pontos, então a semanas de ganho contribuem com 12a. Cada semana de perda subtrai 8 pontos, então b semanas de perda contribuem com -8b. Somando tudo, temos E = 12a - 8b.
De onde vem cada valor: = enunciado: ganho por semana = 12 pontos · = definição: número de semanas com ganho · = enunciado: perda por semana = 8 pontos · = definição: número de semanas com perda
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o excedente é o que ultrapassa 100, e não a pontuação final total.
Passo 2 — Perceber que o excedente é múltiplo de 4
Antes de testar as alternativas, observe que 12 e 8 são ambos múltiplos de 4. Qualquer combinação 12a - 8b também será múltipla de 4, pois 12a é múltiplo de 4 e 8b é múltiplo de 4. Isso elimina todas as opções que não são múltiplas de 4.
Por que esta fórmula: A propriedade é: se dois números são múltiplos de um mesmo número, sua soma ou diferença também é múltipla desse número. Como 12 = 4·3 e 8 = 4·2, temos 12a - 8b = 4(3a - 2b), que é claramente múltiplo de 4.
De onde vem cada valor: = constante: fator comum entre 12 e 8 · = definição: resultado da divisão de 12a - 8b por 4
NÃO CAIA NESSA!
Não perceber a divisibilidade e testar todas as alternativas por tentativa e erro, perdendo tempo.
Passo 3 — Eliminar as alternativas não múltiplas de 4
Agora aplicamos a restrição: o excedente deve ser múltiplo de 4. Verificamos cada opção: 25 não é múltiplo de 4, 34 não é, 48 é, 57 não é, 62 não é. Portanto, apenas a opção C (48) pode ser correta.
Por que esta fórmula: Um número é múltiplo de 4 se o resto da divisão por 4 for zero. 25 ÷ 4 = 6 com resto 1; 34 ÷ 4 = 8 com resto 2; 48 ÷ 4 = 12 exato; 57 ÷ 4 = 14 com resto 1; 62 ÷ 4 = 15 com resto 2.
48 é o único múltiplo de 4 entre as opções
NÃO CAIA NESSA!
Achar que 34 ou 62 são múltiplos de 4 por terminarem em número par — múltiplo de 4 exige que os dois últimos dígitos formem um múltiplo de 4.
Passo 4 — Confirmar que 48 é alcançável
Só porque 48 é múltiplo de 4 não garante que seja possível; precisamos verificar se existem a e b inteiros não negativos com a + b ≤ 10 que satisfaçam 12a - 8b = 48. Se existir, a alternativa é válida.
Por que esta fórmula: Dividimos a equação por 4 para simplificar: 3a - 2b = 12. Procuramos uma solução inteira. Uma solução é a = 6, b = 3, pois 3·6 - 2·3 = 18 - 6 = 12. E a + b = 9 ≤ 10, então é possível.
De onde vem cada valor: = constante: valor escolhido para b · = constante: 8 ÷ 4 · = constante: 48 ÷ 4 · = constante: valor escolhido para a
a = 6, b = 3, a + b = 9 ≤ 10
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a + b deve ser exatamente 10, mas o enunciado permite semanas em que nem todos nem nenhum fizeram a tarefa, então a + b pode ser menor que 10.