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Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaPolinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
Código
ce415117
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Cargo
Sup Ped ( )
Considerando os quatro primeiros monômios da expansão de (1 + x)10 e 1,110 por 1,110 pelo binômio de Newton, assinale a opção que apresenta a aproximação obtida até a segunda casa decimal para 1,110.
  1. A2,57
  2. B2,45
  3. C2,04
  4. D1,46
  5. E1,11
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2,57

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 2,57 — alternativa A.

A ideia por trás

O binômio de Newton é a fórmula que expande uma potência do tipo (a + b)^n em uma soma de termos. Cada termo tem um coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher os fatores, e uma potência de a e de b. Quando b é pequeno, os termos com potências altas de b ficam muito pequenos e podem ser desprezados, dando uma aproximação prática.

A expansão é (a + b)^n = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k, onde C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). No caso (1 + x)^10, os primeiros coeficientes são 1, 10, 45, 120, e os termos são 1, 10x, 45x², 120x³, etc. Quanto maior o expoente de x, menor o termo quando x é pequeno, então truncar a série após alguns termos dá uma boa aproximação.

Esta questão pede exatamente isso: usar os quatro primeiros termos da expansão de (1 + x)^10 com x = 0,1 para aproximar 1,1^10. O passo a passo é identificar os coeficientes, substituir x e somar.

O que a questão dá

  • expressão: (1 + x)^10

  • x = 0,1 (pois 1,1 = 1 + 0,1)

  • usar os quatro primeiros monômios da expansão

O que queremos: a aproximação de 1,1^10 até a segunda casa decimal

Passo 1 — Escrever os quatro primeiros termos da expansão

Precisamos da forma expandida de (1 + x)^10 para depois substituir x. Os quatro primeiros termos são os que têm x^0, x^1, x^2 e x^3.

Por que esta fórmula: Pelo binômio de Newton, o termo geral é C(10,k) * 1^(10-k) * x^k. Como 1 elevado a qualquer coisa é 1, os termos são C(10,k) x^k. Os coeficientes vêm do triângulo de Pascal: 1, 10, 45, 120.

(1+x)10=1+10x+45x2+120x3+…(1 + x)^{10} = 1 + 10x + 45x^{2} + 120x^{3} + \dots

De onde vem cada valor: 11 = definição: C(10,0) = 1 · 1010 = definição: C(10,1) = 10 · 4545 = definição: C(10,2) = 45 · 120120 = definição: C(10,3) = 120

NÃO CAIA NESSA!

Confundir os coeficientes com arranjos: C(10,2) é 45, não 90.

Passo 2 — Substituir x por 0,1 nos termos

Agora que temos a expansão, precisamos aplicá-la ao número 1,1, que é 1 + 0,1. Então x = 0,1.

Por que esta fórmula: A expansão é uma identidade: vale para qualquer x. Substituir x por 0,1 nos dá a aproximação de 1,1^10.

1,110≈1+10(0,1)+45(0,1)2+120(0,1)31{,}1^{10} \approx 1 + 10(0{,}1) + 45(0{,}1)^{2} + 120(0{,}1)^{3}

De onde vem cada valor: 11 = passo 1 · 1010 = passo 1 · 0,10{,}1 = enunciado: 1,1 = 1 + 0,1 · 4545 = passo 1 · 120120 = passo 1

1,110≈1+10⋅0,1+45⋅(0,1)2+120⋅(0,1)31{,}1^{10} \approx 1 + 10 \cdot 0{,}1 + 45 \cdot (0{,}1)^{2} + 120 \cdot (0{,}1)^{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar 0,1 à potência: (0,1)^2 = 0,01, não 0,2.

Passo 3 — Calcular cada termo separadamente

Para somar corretamente, precisamos do valor numérico de cada termo. Cada um é uma multiplicação simples.

Por que esta fórmula: As potências de 0,1 são: 0,1^1 = 0,1; 0,1^2 = 0,01; 0,1^3 = 0,001. Multiplicando pelos coeficientes, obtemos os termos.

10⋅0,1=1,45⋅0,01=0,45,120⋅0,001=0,1210 \cdot 0{,}1 = 1, \quad 45 \cdot 0{,}01 = 0{,}45, \quad 120 \cdot 0{,}001 = 0{,}12

De onde vem cada valor: 1010 = passo 1 · 0,10{,}1 = passo 2 · 4545 = passo 1 · 0,010{,}01 = passo 2: (0,1)^2 · 120120 = passo 1 · 0,0010{,}001 = passo 2: (0,1)^3

10⋅0,1=1,45⋅0,01=0,45,120⋅0,001=0,12=1 ,0,45e0,1210 \cdot 0{,}1 = 1, \quad 45 \cdot 0{,}01 = 0{,}45, \quad 120 \cdot 0{,}001 = 0{,}12 = \boxed{1\ , 0,45 \text{e} 0,12}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 45 * 0,1 = 4,5 em vez de 45 * 0,01 = 0,45.

Passo 4 — Somar os quatro termos

A aproximação é a soma dos termos calculados. Somar é o passo final para obter o valor aproximado.

Por que esta fórmula: A expansão truncada é uma soma; o valor aproximado é a soma dos termos que mantivemos.

1+1+0,45+0,121 + 1 + 0{,}45 + 0{,}12

De onde vem cada valor: 11 = passo 3: 100,1 · 0,450{,}45 = passo 3: 450,01 · 0,120{,}12 = passo 3: 120*0,001

1+1+0,45+0,12=2,57=2,571 + 1 + 0{,}45 + 0{,}12 = 2{,}57 = \boxed{2{,}57}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o termo constante 1 e somar apenas 1 + 0,45 + 0,12 = 1,57.

Resposta: 2,57 — alternativa A

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