Questão de Matemática — Polígonos Inscritos e Circunscritos à Circunferência — CESPE / CEBRASPE 2025

Polígonos inscritos e circunscritos: o pentágono dos pontos médios

Gabarito: letra D. O pentágono Q, formado pelos pontos médios dos lados consecutivos de P, é um pentágono regular cujo raio da circunferência circunscrita é $R \cdot \cos(36^\circ)$. Como $\cos(36^\circ) = \sin(54^\circ)$, a alternativa correta é $R \sin(54^\circ)$.

Para entender por que, precisamos primeiro lembrar o que é um polígono regular e como ele se relaciona com a circunferência. Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes — é equilátero e equiângulo. Quando um polígono regular está inscrito em uma circunferência, o centro dessa circunferência é também o centro do polígono, e o raio $R$ da circunferência é a distância do centro a qualquer vértice.

O pentágono P é regular e está inscrito em uma circunferência de raio $R$. O ângulo central, formado por dois raios que passam por vértices consecutivos, mede $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Agora, considere o triângulo isósceles formado pelo centro O e dois vértices consecutivos A e B de P. Os lados OA e OB medem $R$, e o ângulo $\angle AOB = 72^\circ$. A base AB é o lado do pentágono P.

O ponto médio M do lado AB é o ponto que, junto com os outros pontos médios, forma o pentágono Q. O segmento OM é o apótema do pentágono P — a distância do centro ao ponto médio de um lado. No triângulo retângulo OMA, o ângulo em O é a metade do ângulo central, ou seja, $36^\circ$. O cateto adjacente a esse ângulo é OM, e a hipotenusa é OA = R. Portanto:

O ponto M é um vértice do pentágono Q. A distância do centro O a cada vértice de Q é exatamente OM. Como Q é um pentágono regular (os pontos médios de um polígono regular formam outro polígono regular), a circunferência que passa por seus vértices tem centro O e raio OM. Assim, o raio da circunferência circunscrita a Q é $R \cdot \cos(36^\circ)$.

Agora, a chave da questão está na identidade trigonométrica: $\cos(36^\circ) = \sin(54^\circ)$, pois $36^\circ + 54^\circ = 90^\circ$. Portanto, o raio também pode ser escrito como $R \cdot \sin(54^\circ)$, que é a alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{R}{2}$ seria o raio da circunferência inscrita em um hexágono regular, não o raio do pentágono dos pontos médios. Não há relação direta com o problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$R \cos(36^\circ)$ é o valor correto do raio, mas a alternativa D é a forma equivalente $R \sin(54^\circ)$. Como a questão pede uma única resposta, a letra B está incorreta por não ser a forma final apresentada nas opções.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$R \sin(36^\circ)$ seria o apótema de um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio $R$, não o raio do pentágono dos pontos médios. O seno de $36^\circ$ está associado ao cateto oposto, que é metade do lado, não ao apótema.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o raio da circunferência circunscrita a Q é $OM = R \cos(36^\circ)$. Pela identidade $\cos(36^\circ) = \sin(54^\circ)$, temos $R \sin(54^\circ)$, que é exatamente a alternativa D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$R \cos(54^\circ)$ seria o valor do apótema de um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio $R$, mas com o ângulo complementar errado. O apótema é $R \cos(36^\circ)$, não $R \cos(54^\circ)$.

Gabarito: letra D