Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — CESPE / CEBRASPE 2025

Identidades trigonométricas: expressões em função de tg(x/2)

Gabarito: letra C. A expressão $\text{cosec}(x) - \text{cotg}(x)$ é igual a $\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = t$. Isso decorre das identidades fundamentais da trigonometria: $\text{cosec}(x) = \frac{1}{\text{sen}(x)}$ e $\text{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\text{sen}(x)}$, de modo que a diferença se reduz a $\frac{1 - \cos(x)}{\text{sen}(x)}$, que é exatamente a fórmula da tangente do arco metade.

A questão cobra a habilidade de manipular identidades trigonométricas e reconhecer a fórmula do arco metade. Vamos por partes. Primeiro, lembre-se das definições das funções recíprocas: a cossecante é o inverso do seno e a cotangente é o quociente entre cosseno e seno. Essas definições são a base de toda a resolução.

Substituindo na expressão pedida, temos:

Agora, a identidade do arco metade nos diz que $\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos(x)}{\text{sen}(x)}$. Essa identidade pode ser obtida a partir das fórmulas de arco duplo: $\text{sen}(x) = 2\,\text{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ e $\cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Substituindo essas expressões, a fração se simplifica exatamente para a tangente do arco metade.

Portanto, a expressão dada é idêntica a $t$. As demais alternativas representam outras expressões trigonométricas que não correspondem à diferença pedida, como veremos a seguir.

A pegadinha desta questão é que muitos candidatos tentam substituir diretamente as fórmulas de arco metade para seno e cosseno, mas acabam se perdendo na álgebra. O caminho mais direto é usar a identidade $\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos(x)}{\text{sen}(x)}$, que já é a resposta. Guarde essa identidade: ela é a chave para resolver rapidamente questões desse tipo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa sugere $\frac{1}{t}$, que é a cotangente de $\frac{x}{2}$, ou seja, $\text{cotg}\left(\frac{x}{2}\right)$. A expressão pedida é a diferença entre cossecante e cotangente de $x$, não o inverso da tangente do arco metade. O candidato que confunde as funções recíprocas pode cair nessa armadilha.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{1-t}{1+t}$ não corresponde a nenhuma identidade trigonométrica direta relacionada a $\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$. Ela poderia aparecer em outras manipulações, mas não é o resultado da diferença pedida. É um distrator que testa se o aluno reconhece a forma correta da identidade.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\text{cosec}(x) - \text{cotg}(x) = \frac{1 - \cos(x)}{\text{sen}(x)} = \text{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = t$. A alternativa reproduz exatamente a identidade do arco metade, sendo a única correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{2t}{1+t^2}$ é a fórmula do seno do arco duplo em função da tangente do arco metade: $\text{sen}(x) = \frac{2t}{1+t^2}$. O candidato que confunde a expressão pedida com o seno de $x$ pode marcar esta alternativa. Mas a questão pede a diferença, não o seno.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ é a fórmula do cosseno do arco duplo em função da tangente do arco metade: $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Novamente, é uma identidade válida, mas não corresponde à diferença pedida. O aluno que memoriza as fórmulas de arco duplo sem entender a relação pode se confundir.

Gabarito: letra C