Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2025

Elipse: identificação pela equação reduzida

Gabarito: letra A. A equação $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ está na forma reduzida da elipse com centro na origem, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, em que $a=3$ e $b=2$. Como $a>b$, o eixo maior está sobre o eixo horizontal (eixo x) e o eixo menor sobre o vertical (eixo y).

A equação dada é a forma canônica da elipse centrada na origem. Nessa forma, os denominadores indicam os semieixos: o maior ($a$) define o eixo maior e o menor ($b$) define o eixo menor. Como $9>4$, temos $a=3$ e $b=2$, logo o eixo maior é horizontal. A elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. No caso, os focos estão sobre o eixo x, a uma distância $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$ da origem.

Para distinguir a elipse das demais cônicas, observe o sinal e a estrutura da equação:

A pegadinha da questão está em reconhecer que os denominadores diferentes (9 e 4) indicam uma elipse, não uma circunferência. Se fossem iguais, teríamos uma circunferência de raio 3. Além disso, o sinal de adição entre os termos descarta a hipérbole, e a presença de duas variáveis ao quadrado descarta a parábola e a reta.

Guarde o critério decisivo: na forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, o maior denominador aponta o eixo maior. É exatamente essa comparação que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ é a forma reduzida da elipse com centro na origem, onde $a^2=9$ (logo $a=3$) e $b^2=4$ (logo $b=2$). Como $a>b$, o eixo maior está sobre o eixo horizontal (x) e o eixo menor sobre o vertical (y). A alternativa descreve exatamente essa configuração.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação não representa uma reta. Uma reta tem equação linear do tipo $ax+by+c=0$, com grau 1. A equação dada é quadrática (grau 2) e descreve uma curva fechada, não uma reta. Os pontos (3,0) e (0,2) são, na verdade, os vértices da elipse nos eixos, não interceptos de uma reta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação não representa uma parábola. A parábola tem apenas uma variável ao quadrado (por exemplo, $y^2=2px$ ou $x^2=2py$). Aqui, ambas as variáveis estão ao quadrado e somadas, o que caracteriza uma elipse, não uma parábola.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação não representa uma hipérbole. A hipérbole tem a forma $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (diferença de termos quadráticos). Na equação dada, os termos estão somados, o que caracteriza uma elipse. Além disso, os focos da elipse estão sobre o eixo horizontal, não vertical.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação não representa uma circunferência. A circunferência tem a forma $x^2+y^2=r^2$, com os coeficientes dos termos quadráticos iguais. Aqui, os denominadores são diferentes (9 e 4), o que indica uma elipse com eixos de comprimentos distintos. Se fosse circunferência, o raio seria 3, mas a equação seria $x^2+y^2=9$.

Gabarito: letra A