Questão de Matemática — Matrizes — CESPE / CEBRASPE 2025

Multiplicação de matrizes: dimensão do produto

Gabarito: letra E (ERRADO). O produto entre uma matriz $A_{3\times 2}$ e uma matriz $B_{2\times 3}$ resulta em uma matriz $C_{3\times 3}$ — ou seja, 3 linhas e 3 colunas, e não 6 linhas e 6 colunas como afirma o item. A regra é: o produto $A_{m\times n} \times B_{n\times p}$ existe quando o número de colunas da primeira (n) é igual ao número de linhas da segunda (n), e a matriz resultante tem dimensão $m \times p$.

A multiplicação de matrizes é uma operação que exige uma condição de compatibilidade entre as dimensões das matrizes envolvidas. Diferentemente da multiplicação de números reais, em que sempre é possível multiplicar dois números, para multiplicar duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja exatamente igual ao número de linhas da segunda matriz. Essa é a chamada condição de existência do produto.

Quando a condição é satisfeita, a matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. Em termos práticos, se temos $A_{m\times n}$ e $B_{n\times p}$, o produto $A \times B$ existe e resulta em uma matriz $C_{m\times p}$. Os números "internos" (n) devem coincidir, e os números "externos" (m e p) definem a dimensão do resultado.

Vamos aplicar isso ao caso da questão. Temos $A_{3\times 2}$ (3 linhas e 2 colunas) e $B_{2\times 3}$ (2 linhas e 3 colunas). O número de colunas de A é 2, e o número de linhas de B é 2 — eles coincidem, então o produto $A \times B$ existe. A matriz resultante C terá o número de linhas de A (3) e o número de colunas de B (3), ou seja, $C_{3\times 3}$.

A pegadinha da banca está em confundir a dimensão do resultado com uma soma ou combinação das dimensões das matrizes originais. O candidato pode pensar que, como A tem 3 linhas e B tem 3 colunas, o resultado teria 6 linhas e 6 colunas (somando 3+3). Mas isso está errado: a dimensão do produto é definida pelos números externos da notação, não pela soma.

Para fixar: a regra é sempre olhar para os números internos (colunas da primeira e linhas da segunda) para verificar se o produto existe, e para os números externos (linhas da primeira e colunas da segunda) para determinar a dimensão do resultado. Essa é a chave para resolver qualquer questão sobre multiplicação de matrizes.

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que a matriz C, resultante do produto $A_{3\times 2} \times B_{2\times 3}$, terá 6 linhas e 6 colunas. Isso está incorreto. Conforme a regra da multiplicação de matrizes, o produto $A_{m\times n} \times B_{n\times p}$ resulta em uma matriz $C_{m\times p}$. Aplicando ao caso: $A_{3\times 2} \times B_{2\times 3}$ resulta em $C_{3\times 3}$, ou seja, 3 linhas e 3 colunas. O erro do item está em somar as dimensões (3+3=6) em vez de usar os números externos (3 e 3).

Gabarito: letra E (ERRADO).