Certo professor ministra aulas para uma turma de 8 alunos e decidiu passar tarefas de casa por dez semanas consecutivas. Para incentivar os estudantes a fazê-las, ele estabeleceu o seguinte sistema de notas como parte da avaliação: a turma começará com 100 pontos; a cada semana, o professor sorteará aleatoriamente 4 estudantes; se nenhum dos estudantes sorteados tiver feito a tarefa, a turma perde 8 pontos; se todos os estudantes sorteados tiverem feito a tarefa, a turma ganha 12 pontos; se, ao final, a turma alcançar mais que 100 pontos, a pontuação excedente será aproveitada na nota de outra avaliação.
Texto 4AI-I Considerando a situação hipotética apresentada no texto 4A1-I, assinale a opção em que é apresentada uma pontuação excedente que pode ser alcançada pela turma em apreço.
A25 pontos
B34 pontos
C48 pontos
D57 pontos
E62 pontos
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GabaritoC — 48 pontos
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 48 pontos (alternativa C).
A ideia por trás
A pontuação excedente é o quanto a turma ultrapassa os 100 pontos iniciais após as 10 semanas. Cada semana pode trazer um ganho fixo, uma perda fixa ou nenhuma mudança, dependendo de quantos sorteados fizeram a tarefa. O excedente é a soma algébrica desses ganhos e perdas.
Se x é o número de semanas com ganho e y o número com perda, o excedente é 12x - 8y, com x + y ≤ 10 (as semanas restantes são neutras). Essa expressão é uma combinação linear: cada ganho soma 12, cada perda subtrai 8. O valor final depende de quantas vezes cada evento ocorre, e nem todo número é alcançável.
A questão pede para identificar qual alternativa pode ser obtida por alguma combinação de ganhos e perdas dentro de 10 semanas. Precisamos testar cada alternativa na expressão 12x - 8y, respeitando o limite de semanas.
O que a questão dá
pontuação inicial = 100 pontos
ganho por semana = 12 pontos
número de semanas = 10
O que queremos: qual das alternativas é uma pontuação excedente possível
Passo 1 — Montar a expressão do excedente
Precisamos de uma fórmula que relacione o excedente com o número de semanas de ganho e de perda. Como cada ganho soma 12 e cada perda subtrai 8, o excedente é 12x - 8y, onde x e y são as quantidades de semanas de cada tipo.
Por que esta fórmula: É a definição direta: o excedente é a soma dos ganhos menos a soma das perdas. Não há outra relação envolvida.
De onde vem cada valor: = enunciado: ganho por semana · = constante: perda por semana (implícita no contexto, pois cada semana sem ganho implica perda de 8 pontos) · = definição: número de semanas com ganho · = definição: número de semanas com perda
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que pode haver semanas neutras, limitando x + y a 10, e não exatamente 10.
Passo 2 — Testar a alternativa A (25 pontos)
Precisamos verificar se 25 pode ser escrito como 12x - 8y com x + y ≤ 10. Testamos valores pequenos de x e y.
Por que esta fórmula: É a mesma expressão do passo 1, agora com o valor alvo.
De onde vem cada valor: = enunciado: alternativa A · = passo 1 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Achar que 25 é possível porque 12+12+1, mas 1 não é combinação de 12 e 8.
Passo 3 — Testar a alternativa B (34 pontos)
Continuamos a verificação das alternativas, agora com 34.
Por que esta fórmula: Mesma expressão.
De onde vem cada valor: = enunciado: alternativa B · = passo 1 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Tentar combinar 12 e 8 sem perceber que o resultado é sempre par, e 34 é par, mas não múltiplo de 4? Na verdade 34 é par, mas não é múltiplo de 4, e 12x - 8y é sempre múltiplo de 4.
Passo 4 — Testar a alternativa C (48 pontos)
Agora testamos 48. Procuramos x e y tais que 12x - 8y = 48 e x + y ≤ 10.
Por que esta fórmula: Mesma expressão.
De onde vem cada valor: = enunciado: alternativa C · = passo 1 · = passo 1
48 pontos é possível (x=4, y=0)
NÃO CAIA NESSA!
Achar que precisa usar todas as 10 semanas; aqui só 4 semanas de ganho bastam.
Passo 5 — Confirmar que as demais não são possíveis
Para garantir que a alternativa C é a única, verificamos rapidamente as opções D e E.
Por que esta fórmula: Usamos a mesma expressão para descartar.
De onde vem cada valor: = enunciado: alternativa D · = enunciado: alternativa E · = passo 1 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Tentar forçar combinações sem respeitar o limite de 10 semanas.