Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2025

Elipse: identificação pela equação reduzida

Gabarito: letra A. A equação $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ está na forma reduzida da elipse com centro na origem, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, em que $a=3$ e $b=2$. Como $a>b$, o eixo maior está sobre o eixo horizontal (eixo x) e o eixo menor sobre o vertical (eixo y) — exatamente o que a alternativa A descreve.

A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos, é constante. Na equação reduzida com centro na origem, os denominadores indicam os semieixos: o maior ($a$) está associado ao eixo onde se localiza o eixo maior, e o menor ($b$) ao eixo perpendicular. Quando $a > b$, o eixo maior é horizontal; quando $b > a$, o eixo maior é vertical. Essa distinção é o coração da questão.

No caso dado, $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ e $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$. Como $3 > 2$, o eixo maior mede $2a = 6$ e está sobre o eixo x; o eixo menor mede $2b = 4$ e está sobre o eixo y. Os vértices da elipse são $A_1(3,0)$, $A_2(-3,0)$, $B_1(0,2)$ e $B_2(0,-2)$. A distância focal é $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$, e os focos estão em $(\pm\sqrt{5}, 0)$, sobre o eixo horizontal.

A banca explora a confusão entre as cônicas: uma equação com dois termos quadráticos de sinais iguais e coeficientes diferentes é elipse; se os coeficientes fossem iguais, seria circunferência; se os sinais fossem opostos, hipérbole; e a parábola tem apenas um termo quadrático. Guarde essa triagem: é ela que separa as alternativas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ é a forma reduzida da elipse centrada na origem. Como $a=3 > b=2$, o eixo maior é horizontal (sobre o eixo x) e o eixo menor é vertical (sobre o eixo y). A alternativa descreve com precisão todos os elementos: centro na origem, eixo maior horizontal e eixo menor vertical.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação não representa uma reta. Uma reta tem equação linear do tipo $Ax + By + C = 0$ (ou $y = mx + n$), nunca com termos quadráticos. Os pontos (3,0) e (0,2) são, na verdade, vértices da elipse, não interceptos de uma reta. A banca tenta confundir o aluno que reconhece os números 3 e 2 como interceptos, mas eles aqui são semieixos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A parábola tem equação com apenas um termo quadrático, como $y^2 = 2px$ ou $x^2 = 2py$. A equação dada tem dois termos quadráticos com sinais iguais, o que caracteriza elipse, não parábola. Além disso, a parábola com vértice na origem e eixo horizontal teria a forma $y^2 = 2px$, sem o termo $x^2$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A hipérbole tem equação com os termos quadráticos de sinais opostos, como $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ou $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$. Na equação dada, os dois termos são positivos, o que a classifica como elipse. Além disso, se fosse hipérbole com focos no eixo vertical, o termo positivo estaria sobre $y$, o que não ocorre.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A circunferência tem equação $x^2 + y^2 = r^2$, com os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ iguais. Aqui, os denominadores são diferentes (9 e 4), o que torna a curva uma elipse, não uma circunferência. Se fosse circunferência de raio 3, a equação seria $x^2 + y^2 = 9$, ou seja, $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$.

Gabarito: letra A