Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — CESPE / CEBRASPE 2025

Terceira Lei de Kepler: proporcionalidade entre raio orbital e período

Gabarito: letra B. Pela relação de proporcionalidade direta entre o cubo do raio médio da órbita ($R^3$) e o quadrado do período de translação ($T^2$), temos $\frac{R^3}{T^2} = k$ (constante). Para a Terra, $R_T = 1$ UA e $T_T = 1$ ano; para Marte, $R_M = 1,5$ UA. Assim, $\frac{1,5^3}{t_M^2} = \frac{1^3}{1^2}$, o que resulta em $t_M = \sqrt{1,5^3} = \sqrt{3,375} \approx 1,84$ anos — valor que se encontra no intervalo $1,5 \le t_M < 2,0$.

A questão explora o conceito de grandezas diretamente proporcionais, mas com uma aplicação que exige atenção: a proporcionalidade não é entre o raio e o período diretamente, mas entre o cubo do raio e o quadrado do período. Essa é a essência da Terceira Lei de Kepler, que descreve o movimento orbital dos planetas. Quando o enunciado afirma que "o cubo do raio médio da órbita e o quadrado do período de translação são grandezas diretamente proporcionais", ele está fornecendo a relação matemática exata que devemos usar: $R^3 \propto T^2$, ou seja, $\frac{R^3}{T^2} = \text{constante}$.

Para entender por que isso é importante, vamos relembrar o conceito de proporcionalidade direta. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante. No material de apoio, vemos que "duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas for uma constante" — por exemplo, se um carro viaja a 8 km/h, a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo: $\frac{8}{1} = \frac{16}{2} = \frac{24}{3} = 8$. Aqui, a razão entre o cubo do raio e o quadrado do período é que é constante: $\frac{R^3}{T^2} = k$.

Na prática, isso significa que, para qualquer planeta do sistema, a razão entre o cubo de sua distância média ao Sol e o quadrado de seu período orbital é a mesma. Para a Terra, temos $R_T = 1$ UA e $T_T = 1$ ano (por definição de UA e ano terrestre). Para Marte, $R_M = 1,5$ UA. Como a constante é a mesma para ambos, podemos montar a proporção:

Resolvendo para $t_M$:

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $1,0 \le t_M < 1,5$. Isso corresponderia a um período menor que 1,5 anos, o que só ocorreria se o raio de Marte fosse menor que 1,5 UA ou se a proporcionalidade fosse direta entre $R$ e $T$ (o que não é o caso). O cálculo correto mostra $t_M \approx 1,84$ anos, fora desse intervalo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O período de Marte é $t_M = \sqrt{1,5^3} = \sqrt{3,375} \approx 1,84$ anos, que está no intervalo $1,5 \le t_M < 2,0$. A alternativa espelha exatamente o resultado da proporção $\frac{R^3}{T^2} = k$ aplicada aos dados do enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $2,0 \le t_M < 2,5$. Esse intervalo seria correto se o raio de Marte fosse maior, por exemplo, se $R_M = 1,7$ UA (pois $\sqrt{1,7^3} \approx 2,2$). Mas com $R_M = 1,5$ UA, o período é aproximadamente 1,84 anos, não chegando a 2,0.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $2,5 \le t_M < 3,0$. Esse valor seria obtido se $R_M$ fosse cerca de 1,9 UA (pois $\sqrt{1,9^3} \approx 2,6$). Não corresponde ao raio de 1,5 UA fornecido.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $3,0 \le t_M < 4,0$. Esse intervalo seria plausível para um planeta com raio orbital em torno de 2,2 UA (pois $\sqrt{2,2^3} \approx 3,3$). Marte, com 1,5 UA, tem período bem menor, cerca de 1,84 anos.

Gabarito: letra B