Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2025

Números Complexos: operações, módulo, conjugado e forma polar

Gabarito: letra B. O módulo de um número complexo $z = a + bj$ é dado por $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Para $z_3 = 6 + j8$, temos $|z_3| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. As demais alternativas contêm erros conceituais ou de cálculo, como veremos a seguir.

A questão cobra os conceitos fundamentais dos números complexos: a forma algébrica $z = a + bj$ (onde $a$ é a parte real e $b$ a parte imaginária), as operações de adição, subtração e multiplicação, o módulo, o conjugado e a representação na forma polar. Vamos revisar cada um desses pontos para que você entenda não apenas o gabarito, mas também por que cada alternativa errada está incorreta.

Forma algébrica e operações: Um número complexo é escrito como $z = a + bj$, com $a, b \in \mathbb{R}$ e $j = \sqrt{-1}$, de modo que $j^2 = -1$. Na adição e subtração, operamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Na multiplicação, aplicamos a propriedade distributiva e substituímos $j^2$ por $-1$. Por exemplo, para calcular $z_1^2$ com $z_1 = 3 + j4$, fazemos:

Módulo: O módulo (ou valor absoluto) de $z = a + bj$ é a distância do afixo $(a, b)$ até a origem no plano de Argand-Gauss, calculada por $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. É sempre um número real não negativo.

Conjugado: O conjugado de $z = a + bj$ é $\bar{z} = a - bj$. A soma de um número com seu conjugado resulta em $2a$ (um número real), enquanto a subtração resulta em $2bj$ (um número imaginário puro).

Forma polar: Um número complexo $z = a + bj$ pode ser representado na forma polar como $z = |z| \cdot e^{j\theta}$, onde $\theta$ é o argumento (ângulo), dado por $\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$, e não por $\tan\left(\frac{b}{a}\right)$ diretamente. A fórmula de Euler estabelece que $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$.

A pegadinha central desta questão está em misturar conceitos: a alternativa A erra o cálculo do quadrado, a C inverte o resultado da subtração com o conjugado, a D troca o argumento da forma polar e a E apresenta uma identidade falsa. A única alternativa que aplica corretamente uma definição é a B, que calcula o módulo. Guarde bem a definição de módulo e as operações básicas: é exatamente nelas que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O cálculo de $z_1^2$ está errado. Para $z_1 = 3 + j4$, temos:

O resultado correto é $-7 + 24j$, e não $9 + j40$. O erro provavelmente vem de não aplicar corretamente a propriedade distributiva ou de esquecer que $j^2 = -1$. A alternativa confunde o quadrado de um binômio com a simples elevação de cada termo ao quadrado.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O módulo de $z_3 = 6 + j8$ é calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária:

Portanto, a afirmação está correta. Este é exatamente o conceito de módulo de um número complexo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Para $z_2 = 5 - j2$, o conjugado é $\bar{z}_2 = 5 + j2$. A subtração entre o número e seu conjugado é:

O resultado é um número imaginário puro, não um número real. A alternativa inverte o resultado: a soma $z_2 + \bar{z}_2 = 10$ é que seria um número real. A banca explora a confusão entre soma e subtração com o conjugado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A forma polar de $z_4 = A + jB$ é $z_4 = |z_4| \cdot e^{j\theta}$, onde $\theta = \arctan\left(\frac{B}{A}\right)$ é o argumento. A alternativa escreve $e^{j \cdot tg(B/A)}$, o que está errado por dois motivos: primeiro, o argumento é o arco tangente ($\arctan$), não a tangente ($\tan$); segundo, o expoente deve ser $j\theta$, e não $j \cdot tg(B/A)$. A forma correta seria $z_4 = |z_4| e^{j \cdot \arctan(B/A)}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Pela fórmula de Euler, $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$. Para $\theta = \pi$, temos $e^{j\pi} = \cos\pi + j\sin\pi = -1 + 0j = -1$. Para $\theta = -\pi$, temos $e^{-j\pi} = \cos(-\pi) + j\sin(-\pi) = -1 + 0j = -1$. Portanto, $e^{\pm j\pi} = -1$, e não $\pm j$. A alternativa confunde o resultado com $e^{j\pi/2} = j$ e $e^{-j\pi/2} = -j$.

Gabarito: letra B