Questão de Matemática — Inequações de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Inequações de Segundo Grau
Código
ce415137
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
FUB
Ano
2025
Cargo
Assist ( )
A caixa d’água de uma unidade acadêmica tem capacidade total de 8 m3. A cada semana, de segunda-feira a sexta-feira, durante o expediente, professores, estudantes e servidores consomem a água desse reservatório. A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir. Caso a quantidade x de pessoas que, nos dias mencionados, consomem a água da unidade acadêmica satisfaça a inequação −x2 + 320x ≥ 6.000, então essa quantidade é inferior a 400 pessoas.
CCerto
EErrado
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GabaritoC — Certo
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Inequação do segundo grau: resolvendo −x² + 320x ≥ 6.000
Gabarito: letra C (CERTO). Resolvendo a inequação −x² + 320x ≥ 6.000, obtemos o conjunto solução 20 ≤ x ≤ 300. Como todos os valores desse intervalo são inferiores a 400, a afirmação de que a quantidade x é inferior a 400 pessoas está correta.
A inequação do segundo grau é uma sentença matemática que envolve uma expressão quadrática e um sinal de desigualdade (>, <, ≥, ≤). Para resolvê-la, o primeiro passo é organizar a expressão, deixando um dos lados igual a zero. No nosso caso, temos:
−x² + 320x − 6.000 ≥ 0
Para facilitar, podemos multiplicar toda a inequação por −1, lembrando de inverter o sinal da desigualdade:
x² − 320x + 6.000 ≤ 0
Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática associada: x² − 320x + 6.000 = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a
Neste caso, a = 1, b = −320 e c = 6.000. Calculando o discriminante:
Como a parábola tem concavidade para cima (a = 1 > 0), a função é menor ou igual a zero entre as raízes. Portanto, o conjunto solução da inequação x² − 320x + 6.000 ≤ 0 é:
20 ≤ x ≤ 300
Isso significa que a quantidade de pessoas x que satisfaz a inequação original está entre 20 e 300, inclusive. Como 300 < 400, a afirmação de que x é inferior a 400 pessoas é verdadeira.
NÃO CAIA NESSA!
A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o acreditar que, por ser uma inequação com sinal ≥, o conjunto solução seria x ≥ 300 ou x ≤ 20. No entanto, ao multiplicar por −1 e inverter o sinal, a solução correta é o intervalo entre as raízes. Fique atento à concavidade da parábola: com a > 0, a função é negativa entre as raízes.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver inequações do segundo grau, siga estes passos: 1) organize a inequação com zero em um dos lados; 2) encontre as raízes da equação associada; 3) analise o sinal da função nos intervalos determinados pelas raízes, considerando a concavidade da parábola. Se a > 0, a função é positiva fora das raízes e negativa entre elas; se a < 0, o contrário.
Intervalo de x
Sinal de x² − 320x + 6.000
Satisfaz x² − 320x + 6.000 ≤ 0?
x < 400?
x < 20
Positivo
Não
—
x = 20
Zero
Sim
Sim
20 < x < 300
Negativo
Sim
Sim
x = 300
Zero
Sim
Sim
x > 300
Positivo
Não
—
Item — ✅ CERTO
A afirmação está correta. Resolvendo a inequação −x² + 320x ≥ 6.000, encontramos o conjunto solução 20 ≤ x ≤ 300. Como todos os valores desse intervalo são menores que 400, a quantidade de pessoas é, de fato, inferior a 400.