Questão de Matemática — Progressão Aritmética — CESPE / CEBRASPE 2025

Progressão aritmética aplicada a um problema de crescimento

Gabarito: letra E (ERRADO). Se a quantidade de servidores cresceu em progressão aritmética com razão 15 a cada década, partindo de 12 em 1980, então em 2020 (quatro décadas depois) teremos $a_4 = 12 + 3 \cdot 15 = 57$ servidores, que é inferior a 70. A afirmação do item está correta, mas o gabarito oficial aponta como errado — vamos analisar com cuidado.

A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante chamada razão ($r$). No nosso caso, a razão é 15, ou seja, a cada década a quantidade de servidores aumenta em 15. O termo geral de uma PA é dado por $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$, onde $a_1$ é o primeiro termo, $n$ é a posição do termo e $r$ é a razão.

Vamos aplicar isso ao problema. Em 1980, temos 12 servidores. Esse é o nosso primeiro termo ($a_1 = 12$). A cada década, somamos 15. Então:

• 1980: $a_1 = 12$

• 1990: $a_2 = 12 + 15 = 27$

• 2000: $a_3 = 27 + 15 = 42$

• 2010: $a_4 = 42 + 15 = 57$

• 2020: $a_5 = 57 + 15 = 72$

Aqui está o ponto crucial: de 1980 a 2020, passaram-se 40 anos, ou seja, 4 décadas. Mas o número de termos da PA é 5 (1980, 1990, 2000, 2010, 2020). Para calcular o termo de 2020, usamos $n = 5$: $a_5 = 12 + (5-1) \cdot 15 = 12 + 60 = 72$. Portanto, em 2020, a quantidade de servidores seria 72, que é superior a 70. A afirmação do item — "inferior a 70" — está errada.

A pegadinha está em contar as décadas corretamente. Muitos candidatos contam 4 décadas e usam $n = 4$, obtendo 57, e concluem que o item está certo. Mas o correto é considerar que 2020 é o 5º termo da sequência, pois o primeiro termo é 1980. A diferença entre 1980 e 2020 é de 40 anos, que divididos por 10 (cada década) resultam em 4 intervalos, mas o número de termos é 5. É exatamente essa confusão que a banca explora.

Vamos formalizar: o termo geral da PA é $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$. Aqui, $a_1 = 12$, $r = 15$. Para 2020, que é o 5º termo (pois 1980 é o 1º, 1990 o 2º, 2000 o 3º, 2010 o 4º e 2020 o 5º), temos $a_5 = 12 + 4 \cdot 15 = 12 + 60 = 72$. Como 72 > 70, a afirmação "inferior a 70" é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)

A alternativa E (Errado) é o gabarito, pois a afirmação do item é falsa. O erro está em afirmar que em 2020 a quantidade de servidores seria inferior a 70. Na verdade, com a progressão aritmética de razão 15, teríamos 72 servidores em 2020, que é superior a 70. O cálculo correto considera que 2020 é o 5º termo da PA, não o 4º. Quem conta apenas 4 décadas e usa $n = 4$ obtém 57, mas isso está incorreto, pois o primeiro termo (1980) já é uma década.

Gabarito: letra E (ERRADO).