Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2025

Análise Combinatória: Combinação Simples

Gabarito: letra C (CERTO). A quantidade de maneiras de escolher 3 servidores entre os 12 disponíveis é dada pela combinação simples $C_{12,3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = 220$, que é superior a 200. O cálculo usa a fórmula de combinação, pois a ordem de escolha dos servidores não importa para compor a comissão.

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda técnicas de contagem, permitindo calcular o número de possibilidades de um evento sem precisar listar todas as opções. No problema, temos 12 servidores e precisamos escolher 3 para compor uma comissão. A pergunta central é: a ordem de escolha importa? Não, pois a comissão é um grupo de pessoas, e a ordem em que elas são selecionadas não altera o grupo final. Quando a ordem não importa, usamos a combinação simples.

A fórmula da combinação simples é:

onde $n$ é o total de elementos e $k$ é o número de elementos a serem escolhidos. Aplicando ao caso: $n = 12$ (servidores) e $k = 3$ (vagas na comissão).

Vamos calcular passo a passo:

1. $12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9!$

2. $C_{12,3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{6 \times 9!}$

3. Cancelando $9!$: $C_{12,3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = \frac{1320}{6} = 220$

Portanto, há 220 maneiras distintas de escolher os 3 servidores. Como 220 > 200, a afirmação está correta.

É importante distinguir a combinação do arranjo. No arranjo, a ordem importa, e a fórmula seria $A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$. Se a questão pedisse para escolher 3 servidores para ocupar cargos distintos (presidente, secretário, relator), usaríamos arranjo: $A_{12,3} = 12 \times 11 \times 10 = 1320$. Mas, como a comissão é um grupo sem funções específicas, a ordem não importa, e usamos combinação.

A pegadinha da banca está em confundir combinação com arranjo ou em errar o cálculo do fatorial. Muitos candidatos podem calcular $12 \times 11 \times 10 = 1320$ e concluir que é superior a 200, mas isso seria o arranjo, não a combinação. A combinação divide esse resultado por $3! = 6$, resultando em 220.

Guarde a distinção: se a ordem importa, é arranjo; se não importa, é combinação. É exatamente esse critério que decide esta questão.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

O cálculo correto é a combinação de 12 servidores tomados 3 a 3: $C_{12,3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = 220$. Como 220 é superior a 200, a afirmação está correta. A ordem de escolha não importa, pois a comissão é um grupo homogêneo de servidores.

Alternativa E — ❌ ERRADO

Esta alternativa afirma que a quantidade de possibilidades não é superior a 200. No entanto, o cálculo correto mostra que há 220 possibilidades, que é um número maior que 200. Portanto, a afirmação é falsa.

Gabarito: letra C (CERTO).