Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2025

Potenciação de números complexos pela fórmula de De Moivre

Gabarito: letra E. O número complexo $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ tem módulo 1 e argumento $\theta = 45°$. Pela fórmula de De Moivre, $z^3$ terá módulo $1^3 = 1$ e argumento $3 \times 45° = 135°$, cujo cosseno é $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ e seno é $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Portanto, $w = z^3 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

A forma trigonométrica (ou polar) dos números complexos é a ferramenta mais eficiente para calcular potências. A forma algébrica $z = a + bi$ é ótima para somar e subtrair, mas para multiplicar, dividir e, principalmente, elevar a potências, a forma trigonométrica simplifica drasticamente o trabalho. A ideia central é que um número complexo pode ser representado por seu módulo (a distância até a origem no plano de Argand-Gauss) e seu argumento (o ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo).

A Primeira Fórmula de De Moivre estabelece que, se $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$, então $z^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$. Ou seja, para elevar um número complexo a uma potência $n$, elevamos o módulo a $n$ e multiplicamos o argumento por $n$. Essa é a regra que resolve a questão de forma direta e elegante, evitando a expansão algébrica de $(a+bi)^3$, que é muito mais trabalhosa e sujeita a erros.

Vamos aplicar isso ao caso concreto. O número $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ tem parte real e parte imaginária iguais a $\frac{\sqrt{2}}{2}$. No círculo trigonométrico, o ponto com coordenadas $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ corresponde ao ângulo de $45°$ (ou $\frac{\pi}{4}$ radianos), e o módulo é $\rho = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$. Assim, $z = 1 \cdot (\cos 45° + i\sin 45°)$.

Aplicando De Moivre com $n = 3$: $z^3 = 1^3 \cdot (\cos(3 \times 45°) + i\sin(3 \times 45°)) = \cos 135° + i\sin 135°$. O ângulo de $135°$ está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo e o seno é positivo. Sabemos que $\cos 135° = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin 135° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Portanto, $w = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, que corresponde exatamente à alternativa E.

A pegadinha clássica desta questão é o sinal de cada componente. Ao multiplicar o argumento por 3, o ângulo sai do primeiro quadrante (45°) e vai para o segundo (135°). Nesse quadrante, o cosseno fica negativo, mas o seno permanece positivo. O candidato que não visualiza o círculo trigonométrico pode manter ambos os sinais positivos (alternativa A) ou inverter ambos (alternativa B), errando a questão. A chave é lembrar que o cosseno de 135° é negativo e o seno é positivo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $w = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$, com ambos os componentes negativos. Isso corresponderia a um ângulo de $225°$ (terceiro quadrante), que seria o resultado de multiplicar o argumento por 5 ($5 \times 45° = 225°$), não por 3. O erro está em inverter o sinal do seno, que deveria permanecer positivo para $135°$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $w = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$, com parte real positiva e parte imaginária negativa. Isso corresponderia a um ângulo de $-45°$ (ou $315°$, quarto quadrante), que seria o resultado de multiplicar o argumento por 7 ($7 \times 45° = 315°$). O erro está em manter o cosseno positivo e inverter o seno, quando o correto para $135°$ é exatamente o oposto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $w = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, com parte real $\frac{1}{2}$ em vez de $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. O valor $\frac{1}{2}$ é o cosseno de $60°$, não de $135°$. O candidato que confunde os ângulos notáveis ou erra o cálculo do cosseno de $135°$ pode cair aqui. O correto é $\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $w = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$, com parte real $\frac{1}{2}$ e parte imaginária negativa. Combina dois erros: o cosseno errado (deveria ser $-\frac{\sqrt{2}}{2}$) e o seno com sinal trocado (deveria ser positivo). É um distrator que mistura os erros das alternativas B e C.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $w = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, que é exatamente o resultado de $z^3$ pela fórmula de De Moivre: módulo $1^3 = 1$ e argumento $3 \times 45° = 135°$, com $\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin 135° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Os sinais estão corretos para o segundo quadrante.

Gabarito: letra E