Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — CESPE / CEBRASPE 2025

Trigonometria no triângulo retângulo: altura da pipa

Gabarito: letra C. A altura da pipa é o cateto oposto ao ângulo de 60°, e o cordão esticado de 30 m é a hipotenusa do triângulo retângulo formado. Pela definição de seno, $\operatorname{sen} 60° = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$, logo $h = 30 \cdot \operatorname{sen} 60° = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ metros.

O problema descreve uma situação clássica de aplicação da trigonometria no triângulo retângulo: a pipa, o ponto em que o cordão está preso ao chão e a projeção vertical da pipa formam um triângulo retângulo. O cordão esticado é a hipotenusa (30 m), o ângulo entre o cordão e o chão é de 60°, e a altura da pipa é exatamente o cateto oposto a esse ângulo. A pergunta é: qual razão trigonométrica relaciona o cateto oposto com a hipotenusa? A resposta é o seno.

A definição de seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Matematicamente, $\operatorname{sen} \theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$. Isolando o cateto oposto, temos: cateto oposto = hipotenusa × seno do ângulo. Para o ângulo de 60°, o valor do seno é um dos chamados ângulos notáveis, cujo valor é $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Substituindo os valores: $h = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ metros.

Para visualizar melhor, imagine o triângulo retângulo: a base é a distância no chão entre o ponto de fixação e a projeção da pipa; a altura é o cateto vertical; e o cordão é a hipotenusa. O ângulo de 60° está entre o cordão e o chão. Se você desenhar, verá que a altura é o lado "de pé", oposto ao ângulo de 60°. É importante não confundir com o cosseno, que relaciona o cateto adjacente (a distância no chão) com a hipotenusa. Usar o cosseno aqui daria a distância horizontal, não a altura.

A pegadinha desta questão é justamente a escolha da razão trigonométrica correta. O candidato que usa o cosseno de 60° (que vale $\frac{1}{2}$) encontra $30 \times \frac{1}{2} = 15$, que é a alternativa A — mas isso é a distância horizontal, não a altura. Outro erro comum é usar a tangente (que vale $\sqrt{3}$), que relaciona cateto oposto e cateto adjacente, mas não temos o cateto adjacente diretamente. A chave é identificar que o cordão é a hipotenusa e a altura é o cateto oposto ao ângulo dado, o que aponta diretamente para o seno.

Guarde a fronteira entre seno e cosseno: seno = cateto oposto / hipotenusa; cosseno = cateto adjacente / hipotenusa. É exatamente nessa distinção que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 15 seria obtido se usássemos o cosseno de 60°: $30 \times \cos 60° = 30 \times \frac{1}{2} = 15$. Porém, o cosseno relaciona o cateto adjacente (a distância horizontal no chão) com a hipotenusa, não a altura. A banca troca a razão trigonométrica para induzir ao erro: quem confunde seno com cosseno cai nesta alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $15\sqrt{2}$ não corresponde a nenhuma razão trigonométrica direta com os dados do problema. Ele lembra a proporção do triângulo retângulo isósceles (45°-45°-90°), onde a hipotenusa é $l\sqrt{2}$. Mas aqui o ângulo é de 60°, não de 45°, e a relação correta envolve $\sqrt{3}$, não $\sqrt{2}$. É um distrator que mistura as proporções dos triângulos notáveis.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A altura é o cateto oposto ao ângulo de 60°. Usando a definição de seno: $\operatorname{sen} 60° = \frac{h}{30}$. Como $\operatorname{sen} 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, temos $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{30}$, logo $h = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ metros. Este é exatamente o valor que resolve o problema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $20\sqrt{3}$ seria obtido se a hipotenusa fosse 40 m, pois $40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$. Como a hipotenusa é 30 m, o resultado correto é $15\sqrt{3}$. A banca usa um múltiplo do valor correto para confundir quem erra o cálculo ou usa um dado incorreto do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 60 seria obtido se multiplicássemos a hipotenusa por 2, ignorando completamente a razão trigonométrica. Não há operação que justifique esse número: nem seno, nem cosseno, nem tangente de 60° aplicados a 30 m resultam em 60. É um distrator que testa se o candidato realmente entende o conceito ou apenas chuta valores.

A regra de ouro para questões de altura com corda/escada/rampa: identifique qual lado do triângulo é a hipotenusa e qual é o cateto procurado, e então escolha a razão trigonométrica que os relaciona. Neste caso, hipotenusa + cateto oposto = seno. Com o seno de 60° valendo $\frac{\sqrt{3}}{2}$, o resultado é $15\sqrt{3}$.

Gabarito: letra C