Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2025

Geometria Analítica: retas perpendiculares

Gabarito: letra C. A reta perpendicular a $y = -3x + 1$ deve ter coeficiente angular $m = \frac{1}{3}$ (pois o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é $-1$), e passar pelo ponto $P(-1,4)$. A única alternativa que satisfaz ambas as condições é $y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$.

O conceito central aqui é a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares. Dada uma reta $r$ com coeficiente angular $m_r$, qualquer reta $s$ perpendicular a ela terá coeficiente angular $m_s = -\frac{1}{m_r}$. Isso vem do fato de que o ângulo entre duas retas perpendiculares é $90°$, e a tangente da soma dos ângulos que cada reta forma com o eixo $x$ não está definida — o que algebricamente se traduz nessa relação entre os coeficientes.

Na prática, para resolver a questão, seguimos dois passos:

1. Encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular. A reta dada é $y = -3x + 1$, logo $m_r = -3$. O coeficiente da perpendicular é $m_s = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$.

1. Encontrar o coeficiente linear $b$. Como a reta passa por $P(-1,4)$, substituímos $x = -1$ e $y = 4$ na equação $y = \frac{1}{3}x + b$:

Portanto, a equação é $y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$.

A pegadinha clássica da banca é inverter o sinal do coeficiente angular: o candidato calcula o inverso ($\frac{1}{3}$) mas esquece de trocar o sinal, ou calcula o oposto ($3$) sem inverter. Vamos analisar cada alternativa com esse critério em mente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O coeficiente angular é $-\frac{1}{3}$, que é o inverso de $-3$ sem trocar o sinal. Para ser perpendicular, o coeficiente deveria ser $\frac{1}{3}$. Além disso, o coeficiente linear $1$ não faz a reta passar por $P(-1,4)$: $\frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 = \frac{2}{3} \neq 4$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $-\frac{1}{3}$ está errado pelo mesmo motivo da alternativa A. Embora o coeficiente linear $\frac{11}{3}$ faça a reta passar por $P(-1,4)$ (pois $-\frac{1}{3} \cdot (-1) + \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + \frac{11}{3} = 4$), a condição de perpendicularidade não é satisfeita.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O coeficiente angular $\frac{1}{3}$ é o inverso com sinal trocado de $-3$, satisfazendo a condição de perpendicularidade. O coeficiente linear $\frac{13}{3}$ faz a reta passar por $P(-1,4)$: $\frac{1}{3} \cdot (-1) + \frac{13}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{13}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Ambas as condições são atendidas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $\frac{1}{3}$ está correto, mas o coeficiente linear $1$ não faz a reta passar por $P(-1,4)$: $\frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 = \frac{2}{3} \neq 4$. A reta $y = \frac{1}{3}x + 1$ é paralela à correta, mas deslocada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O coeficiente angular $-\frac{11}{3}$ não é o inverso com sinal trocado de $-3$ (deveria ser $\frac{1}{3}$). Além disso, o coeficiente linear $\frac{1}{3}$ não faz a reta passar por $P(-1,4)$: $-\frac{11}{3} \cdot (-1) + \frac{1}{3} = \frac{11}{3} + \frac{1}{3} = 4$, mas a condição de perpendicularidade falha.

Gabarito: letra C