Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025

Número de elementos da união de três conjuntos (Princípio da Inclusão-Exclusão)

Gabarito: letra C (CERTO). O número de quesitos classificados no tema administrativo é 45, que é superior ao dobro do número de quesitos do tema governança (2 × 25 = 50? Não — 45 > 50 é falso). Espere: vamos recalcular. Na verdade, o número de quesitos administrativos é 45, e o dobro do número de quesitos de governança é 50. Como 45 não é superior a 50, a afirmação seria ERRADA. Mas o gabarito oficial é C (CERTO). Vamos refazer os cálculos com atenção.

Vamos definir os conjuntos: G = governança, A = administrativo, O = operacional. Temos:

• n(G) = 25

• n(A) = n(O) (igualdade)

• n(G ∩ A) = 17

• n(A ∩ O) = 23

• n(G ∩ O) = 7

• n(G ∩ A ∩ O) = 0 (nenhum quesito nos três simultaneamente)

• n(G ∪ A ∪ O) = 80 (todos os quesitos se classificam em pelo menos um tema)

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos: n(G ∪ A ∪ O) = n(G) + n(A) + n(O) − n(G ∩ A) − n(G ∩ O) − n(A ∩ O) + n(G ∩ A ∩ O)

Substituindo: 80 = 25 + n(A) + n(O) − 17 − 7 − 23 + 0 80 = 25 + n(A) + n(O) − 47 80 = n(A) + n(O) − 22 n(A) + n(O) = 102

Como n(A) = n(O), temos: 2 × n(A) = 102 n(A) = 51

Portanto, o número de quesitos administrativos é 51. O dobro do número de quesitos de governança é 2 × 25 = 50. Como 51 > 50, a afirmação está CERTA.

O Princípio da Inclusão-Exclusão é a ferramenta central para resolver problemas de contagem envolvendo conjuntos com intersecções. A ideia é simples: para contar os elementos da união de vários conjuntos, somamos os elementos de cada conjunto individualmente e depois subtraímos as intersecções que foram contadas mais de uma vez. Para dois conjuntos, a fórmula é n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Para três conjuntos, a fórmula se expande: somamos os três conjuntos, subtraímos as três intersecções duplas e somamos a intersecção tripla (que foi subtraída demais).

Nesta questão, a intersecção tripla é zero, o que simplifica os cálculos. O ponto crítico é não esquecer de subtrair TODAS as intersecções duplas e de usar a informação de que n(A) = n(O) para resolver o sistema. Muitos candidatos erram ao não considerar a igualdade entre administrativo e operacional, ou ao somar as intersecções em vez de subtraí-las.

Vamos detalhar o raciocínio passo a passo:

1. Identificar os conjuntos e as intersecções: Temos três temas (G, A, O) e as intersecções entre eles.

2. Aplicar a fórmula da união: n(G ∪ A ∪ O) = n(G) + n(A) + n(O) − n(G∩A) − n(G∩O) − n(A∩O) + n(G∩A∩O).

3. Substituir os valores conhecidos: 80 = 25 + n(A) + n(O) − 17 − 7 − 23 + 0.

4. Simplificar: 80 = n(A) + n(O) − 22 → n(A) + n(O) = 102.

5. Usar a igualdade n(A) = n(O): 2 × n(A) = 102 → n(A) = 51.

6. Comparar com o dobro de governança: 2 × n(G) = 2 × 25 = 50. Como 51 > 50, a afirmação é verdadeira.

A pegadinha clássica desta questão é o candidato esquecer de subtrair as intersecções ou não perceber que a igualdade entre administrativo e operacional é a chave para encontrar o valor. Outra armadilha é confundir o número de elementos da união (80) com o total de elementos de um conjunto específico.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação de que o número de quesitos administrativos é superior ao dobro do número de quesitos de governança é verdadeira. Calculamos n(A) = 51 e 2 × n(G) = 50. Como 51 > 50, a afirmação está correta. O erro mais comum seria calcular n(A) incorretamente, por exemplo, esquecendo de subtrair a intersecção tripla (que aqui é zero) ou não usando a igualdade n(A) = n(O).

Gabarito: letra C (CERTO).