Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025

Conjuntos: princípio da inclusão-exclusão aplicado à auditoria

Gabarito: letra C (CERTO). Aplicando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos — governança (G), administrativo (A) e operacional (O) —, com a informação de que nenhum quesito pertence aos três temas simultaneamente, o número de quesitos classificados somente no tema governança é exatamente 1. O cálculo decorre da fórmula $n(G \cup A \cup O) = n(G) + n(A) + n(O) - n(G \cap A) - n(G \cap O) - n(A \cap O) + n(G \cap A \cap O)$, que, com os dados fornecidos, resulta em apenas um quesito exclusivo de governança.

O problema envolve três conjuntos que se intersectam, e a chave para resolvê-lo é o princípio da inclusão-exclusão. Esse princípio estabelece que, para calcular o número de elementos da união de três conjuntos, somamos os elementos de cada conjunto individualmente, subtraímos os elementos das interseções dois a dois (pois foram contados duas vezes) e, por fim, somamos os elementos da interseção tripla (pois foram contados três vezes e subtraídos três vezes, ficando de fora). A fórmula geral é:

No caso da questão, temos três temas: governança (G), administrativo (A) e operacional (O). O enunciado fornece:

• $n(G) = 25$

• $n(A) = n(O)$ (números iguais, mas desconhecidos)

• $n(G \cap A) = 17$

• $n(A \cap O) = 23$

• $n(G \cap O) = 7$

• $n(G \cap A \cap O) = 0$ (nenhum quesito nos três temas)

• $n(G \cup A \cup O) = 80$ (todos os quesitos se classificam em pelo menos um tema)

Substituindo na fórmula:

Como $n(A) = n(O)$, podemos escrever $n(A) = n(O) = x$:

Portanto, $n(A) = n(O) = 51$. Agora, para encontrar o número de quesitos somente no tema governança, precisamos subtrair de $n(G)$ as interseções com os outros temas. Como nenhum quesito está nos três temas, a interseção tripla é zero, então:

Assim, exatamente 1 quesito é classificado somente no tema governança, confirmando a afirmação do item.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é esquecer de subtrair as interseções ou somar a interseção tripla quando ela é zero. Aqui, a informação de que nenhum quesito pertence aos três temas simultaneamente simplifica o cálculo, mas é essencial não ignorar as interseções duplas. O raciocínio é direto: para isolar os elementos exclusivos de um conjunto, subtraímos dele todas as interseções com os demais conjuntos.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação de que apenas um quesito pode ser classificado somente no tema governança está correta. O cálculo demonstrou que, após subtrair de $n(G) = 25$ as interseções com administrativo (17) e operacional (7), resta exatamente 1 quesito exclusivo de governança. A condição de que nenhum quesito pertence aos três temas simultaneamente ($n(G \cap A \cap O) = 0$) garante que não há elementos a serem adicionados de volta, tornando o resultado preciso.

Gabarito: letra C (CERTO).