Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025

Conjuntos: princípio da inclusão-exclusão aplicado a três temas

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que o número de quesitos classificados apenas no tema administrativo é igual ao número dos classificados apenas no tema operacional é falsa. Resolvendo o sistema de equações derivado do princípio da inclusão-exclusão, obtém-se que os quesitos exclusivamente administrativos somam 10, enquanto os exclusivamente operacionais somam 16 — números distintos. A fonte é o próprio princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, conforme demonstrado no desenvolvimento.

O problema envolve três conjuntos: governança (G), administrativo (A) e operacional (O). O princípio da inclusão-exclusão estabelece que, para calcular o número de elementos da união de três conjuntos, somam-se os elementos de cada conjunto, subtraem-se as interseções dois a dois e soma-se a interseção tripla. A fórmula geral é:

No enunciado, temos:

• $n(G) = 25$

• $n(A) = n(O)$ (chamaremos de $x$)

• $n(G \cap A) = 17$

• $n(A \cap O) = 23$

• $n(G \cap O) = 7$

• $n(G \cap A \cap O) = 0$ (nenhum quesito nos três temas simultaneamente)

• $n(G \cup A \cup O) = 80$ (todos os quesitos se classificam em pelo menos um tema)

Substituindo na fórmula:

Portanto, $n(A) = n(O) = 51$. Agora, para encontrar o número de quesitos exclusivamente administrativos, subtraímos de $n(A)$ as interseções com os outros temas:

Analogamente, para o tema operacional:

Assim, os quesitos exclusivamente administrativos são 11, e os exclusivamente operacionais são 21. A igualdade proposta no item é falsa.

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a pensar que, como $n(A) = n(O)$, os valores exclusivos também seriam iguais. No entanto, as interseções com o terceiro tema (governança) são diferentes (17 para administrativo e 7 para operacional), o que desequilibra os valores exclusivos. É essencial calcular cada região do diagrama de Venn separadamente.

Item — ❌ Errado

A afirmação "o número de quesitos que podem ser classificados apenas no tema administrativo é igual ao número dos que podem ser classificados apenas no tema operacional" é incorreta. Conforme o cálculo acima, os quesitos exclusivamente administrativos somam 11, enquanto os exclusivamente operacionais somam 21. A diferença decorre das interseções distintas com o tema governança: 17 quesitos estão em governança e administrativo, mas apenas 7 estão em governança e operacional. Como o total de quesitos em administrativo é igual ao total em operacional (51), a diferença nas interseções com governança faz com que os valores exclusivos sejam diferentes.

Gabarito: letra E (ERRADO).