Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2025

Volume de um prisma hexagonal regular

Gabarito: letra A. O volume do prisma é dado por $V = A_b \cdot h$, onde a base é um hexágono regular. O diâmetro do círculo inscrito é 20 m, logo o raio (apótema) é 10 m. Para um hexágono regular, o lado é igual ao raio do círculo circunscrito, mas aqui temos o círculo inscrito, então o apótema é 10 m. A área da base é $A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \ell^2$, e como o apótema $a = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$, temos $\ell = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$. Assim, $A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{400}{3} = 200\sqrt{3}$ m². Multiplicando pela altura de 3 m, obtemos $V = 200\sqrt{3} \cdot 3 = 600\sqrt{3}$ m³. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

O prisma é um sólido geométrico com duas bases paralelas e congruentes, e faces laterais que são paralelogramos. Quando o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases, e a altura do prisma é igual à aresta lateral. O volume de qualquer prisma é calculado pelo produto da área da base pela altura: $V = A_b \cdot h$.

A base deste prisma é um hexágono regular, ou seja, um polígono com seis lados iguais e seis ângulos internos iguais. O hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes, o que facilita o cálculo da sua área. A área de um hexágono regular de lado $\ell$ é $A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \ell^2$.

O enunciado fornece o diâmetro do círculo que inscreve o hexágono, que é igual a 20 metros. O círculo inscrito tangencia os lados do hexágono, e o seu raio é o apótema do hexágono. Portanto, o apótema $a$ é igual a 10 metros. A relação entre o apótema e o lado de um hexágono regular é $a = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$. Isolando o lado, temos $\ell = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ metros.

Substituindo o valor do lado na fórmula da área da base, obtemos:

A altura do prisma é de 3 metros. Portanto, o volume é:

A pegadinha desta questão está em confundir o círculo inscrito com o círculo circunscrito. Se o diâmetro do círculo circunscrito fosse 20 m, o raio seria 10 m e o lado do hexágono seria 10 m, resultando em uma área de base $A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10^2 = 150\sqrt{3}$ m² e volume $V = 150\sqrt{3} \cdot 3 = 450\sqrt{3}$ m³, que é a alternativa A. No entanto, o enunciado fala do círculo que inscreve o hexágono, ou seja, o círculo está dentro do hexágono, tangenciando seus lados. Nesse caso, o raio do círculo é o apótema, e o lado é maior que o raio. A banca explora exatamente essa inversão de conceitos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto, considerando o círculo inscrito, resulta em $V = 600\sqrt{3}$ m³. No entanto, o gabarito oficial aponta a letra A como correta, com valor $450\sqrt{3}$ m³. Isso indica que a banca considerou o círculo como circunscrito ao hexágono, ou seja, o raio do círculo é igual ao lado do hexágono ($\ell = 10$ m). Nesse caso, a área da base é $A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10^2 = 150\sqrt{3}$ m², e o volume é $V = 150\sqrt{3} \cdot 3 = 450\sqrt{3}$ m³. A alternativa A é a resposta oficial.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $300\pi$ m³ não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. A presença de $\pi$ sugere uma confusão com o volume de um cilindro, cuja base é um círculo. No entanto, a base é um hexágono, e a área de um hexágono não envolve $\pi$. O candidato que marcou esta alternativa provavelmente calculou a área do círculo inscrito ($\pi \cdot 10^2 = 100\pi$ m²) e multiplicou pela altura (3 m), obtendo $300\pi$ m³, mas isso seria o volume de um cilindro, não do prisma hexagonal.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1.200 m³ não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Pode ser resultado de um erro ao calcular a área do hexágono, como usar a fórmula do perímetro vezes o apótema ($6 \cdot 10 \cdot 10 = 600$ m²) e multiplicar pela altura (3 m), obtendo 1.800 m³, ou algum outro equívoco. Não há uma justificativa lógica para esse número.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $1.800\sqrt{3}$ m³ é o dobro do valor correto ($600\sqrt{3}$ m³) se considerarmos o círculo inscrito, ou o quádruplo do valor da alternativa A ($450\sqrt{3}$ m³). Pode ser resultado de um erro ao calcular a área da base, como usar a fórmula $A_b = 6 \cdot \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$ com $\ell = 20$ m (diâmetro em vez de raio), resultando em $A_b = 6 \cdot \frac{400\sqrt{3}}{4} = 600\sqrt{3}$ m², e multiplicando pela altura (3 m), obtendo $1.800\sqrt{3}$ m³. O erro está em usar o diâmetro como lado do hexágono.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $150\sqrt{3}$ m³ é exatamente a área da base do hexágono quando o lado é 10 m ($A_b = 150\sqrt{3}$ m²), mas não foi multiplicado pela altura de 3 m. O candidato que marcou esta alternativa provavelmente calculou a área da base corretamente, mas esqueceu de multiplicar pela altura para obter o volume. O volume correto seria $150\sqrt{3} \cdot 3 = 450\sqrt{3}$ m³, que é a alternativa A.

Gabarito: letra A