Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — CESPE / CEBRASPE 2025

Lei dos Cossenos: aplicação direta

Gabarito: letra A. O lado BC é o lado oposto ao ângulo de 60° formado pelos lados AB e AC. Pela Lei dos Cossenos, temos $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°)$, o que resulta em $BC = 3\sqrt{7}$ cm. A questão é uma aplicação direta da Lei dos Cossenos, que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com o cosseno de um de seus ângulos.

A Lei dos Cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras para triângulos que não são retângulos. Ela estabelece que, em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Essa relação é fundamental para resolver problemas onde conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados e queremos descobrir um ângulo.

No problema, temos o triângulo ABC com AB = 9 cm, AC = 6 cm e o ângulo entre esses lados (no vértice A) igual a 60°. O lado que queremos encontrar, BC, é exatamente o lado oposto a esse ângulo. Portanto, aplicamos a fórmula diretamente, substituindo os valores conhecidos. O cosseno de 60° é um valor notável, igual a 1/2, o que simplifica os cálculos.

A principal distinção que devemos fazer é entre a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos. A Lei dos Senos é usada quando conhecemos dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo oposto a um deles. Já a Lei dos Cossenos é a ferramenta ideal quando temos dois lados e o ângulo entre eles (como neste caso) ou quando temos os três lados e queremos encontrar um ângulo. Confundir essas duas leis é um erro comum, mas a presença do ângulo entre os dois lados conhecidos é o sinal claro de que devemos usar a Lei dos Cossenos.

A pegadinha desta questão está na simplificação algébrica e na identificação correta de qual lado é oposto ao ângulo dado. O candidato pode, por exemplo, aplicar a Lei dos Senos erroneamente, ou errar o cálculo do cosseno de 60°. Além disso, é preciso atenção para não confundir os lados: o lado BC é oposto ao ângulo A, que é o ângulo de 60°.

Guarde o critério decisivo: quando o enunciado fornece dois lados e o ângulo entre eles, a Lei dos Cossenos é a ferramenta direta. É exatamente esse padrão que as alternativas exploram.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a Lei dos Cossenos com os dados do enunciado:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°)$

$BC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 81 + 36 - 54$

$BC^2 = 63$

$BC = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ cm

O resultado confirma a alternativa A como correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{13}$ cm seria obtido se o termo $-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°)$ fosse calculado como $+54$ em vez de $-54$, ou seja, se o sinal da fórmula fosse trocado. Isso levaria a $BC^2 = 81 + 36 + 54 = 171$, que não corresponde a $3\sqrt{13}$ (pois $3\sqrt{13} = \sqrt{117}$). O erro aqui é um sinal incorreto na aplicação da fórmula.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 3 cm é muito pequeno para ser o terceiro lado de um triângulo com lados 9 cm e 6 cm. Pela desigualdade triangular, o lado BC deve ser maior que a diferença dos outros dois lados (9 - 6 = 3 cm) e menor que a soma (9 + 6 = 15 cm). Embora 3 cm seja o limite inferior, ele não é atingido, pois o ângulo de 60° não é 0°. Esse valor provavelmente resulta de um erro de cálculo, como considerar $BC = 9 - 6 = 3$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{9}{2}\sqrt{3}$ cm não corresponde a nenhum resultado direto da aplicação da Lei dos Cossenos. Ele poderia surgir de uma confusão com a fórmula da área do triângulo ($\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(60°)$), que envolveria o seno, ou de um erro na manipulação algébrica da raiz quadrada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{3}$ cm seria obtido se o termo $-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°)$ fosse calculado como $-108$ em vez de $-54$, ou seja, se o produto $2 \cdot 9 \cdot 6$ fosse feito incorretamente. Isso levaria a $BC^2 = 81 + 36 - 108 = 9$, resultando em $BC = 3$, e não $3\sqrt{3}$. O erro aqui é um produto incorreto na aplicação da fórmula.

Gabarito: letra A