Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415159

MatemáticaFunção Exponencial e Inequações Exponenciais

Código: ce415159
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UNIFAL
Ano: 2025

Cargo: Vest ( )

Uma amostra de uma substância radioativa, inicialmente com 500 g de massa, tem meia vida de 8 anos. Essa substância radioativa segue a modelagem de decaimento exponencial dada por m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/8}, em que m_0 corresponde à massa inicial e m(t), à massa remanescente após decorridos t anos.

Com base nessas informações, é correto afirmar que a massa remanescente da substância será igual a 1/5 da massa inicial depois de decorridos

A\frac{\log 5 + \log 500}{\log 2} \text{ anos.}
B8 \cdot \frac{\log 2}{\log 5} \text{ anos.}
C\frac{1}{8} \cdot \frac{\log 5}{\log 2} \text{ anos.}
D8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2} \text{ anos.}
E8 \cdot \frac{\log 5 + \log 500}{\log 2} \text{ anos.}

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2} \text{ anos.}

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Decaimento exponencial e logaritmos

Gabarito: letra D. Queremos o tempo $t$ tal que $m(t) = \frac{1}{5}m_0$ . Substituindo na lei $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/8}$ e cancelando $m_0$ , obtemos $2^{-t/8} = \frac{1}{5}$ . Aplicando logaritmo na base 10 dos dois lados: $-\frac{t}{8}\log 2 = \log\frac{1}{5} = -\log 5$ , logo $t = 8\cdot\frac{\log 5}{\log 2}$ anos. A alternativa D reproduz exatamente essa expressão.

O decaimento exponencial é um modelo matemático em que uma grandeza diminui a uma taxa proporcional ao seu valor atual. No caso de substâncias radioativas, a grandeza é a massa, e a taxa de decaimento é caracterizada pela meia-vida: o tempo necessário para que a massa se reduza à metade. Aqui, a meia-vida é de 8 anos, e a função dada, $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/8}$ , reflete isso: quando $t = 8$ , o expoente é $-1$ e $m(8) = m_0/2$ ; quando $t = 16$ , $m(16) = m_0/4$ , e assim por diante.

Para encontrar o tempo em que a massa é $1/5$ da inicial, não precisamos do valor de $m_0$ (ele se cancela), nem do valor de 500 g — a informação da massa inicial é um distrator. A equação a resolver é:

m_0 \cdot 2^{-t/8} = \frac{1}{5}m_0 \Rightarrow 2^{-t/8} = \frac{1}{5}

Aplicando logaritmo na base 10 (ou qualquer base) em ambos os lados, usamos a propriedade $\log(a^b) = b\log a$ :

\log\left(2^{-t/8}\right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) \Rightarrow -\frac{t}{8}\log 2 = -\log 5

Multiplicando por $-1$ e isolando $t$ :

\frac{t}{8}\log 2 = \log 5 \Rightarrow t = 8\cdot\frac{\log 5}{\log 2}

A chave da questão está em reconhecer que a massa inicial $m_0$ (500 g) é irrelevante para o cálculo do tempo — ela aparece dos dois lados da equação e se cancela. O que importa é a razão entre a massa remanescente e a inicial, que é $1/5$ . Além disso, a base do logaritmo não precisa ser especificada: qualquer base consistente (10, $e$ , 2) produz o mesmo resultado, pois a razão $\log 5 / \log 2$ independe da base escolhida.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato incluindo a massa inicial de 500 g no cálculo. Muitos alunos tentam usar $m_0 = 500$ e $m(t) = 100$ (pois $1/5$ de 500 é 100), mas isso é desnecessário — a equação $m_0 \cdot 2^{-t/8} = \frac{1}{5}m_0$ já tem $m_0$ dos dois lados e ele se cancela. O valor 500 g é um distrator puro. Além disso, a alternativa E tenta incluir $\log 500$ na expressão, o que seria um erro de interpretação: não há soma de logaritmos aqui, apenas a razão $\log 5 / \log 2$ .

Decaimento exponencial — só Corretas: D; só Incorretas: A, B, C, E; Corretas∩Incorretas:

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{\log 5 + \log 500}{\log 2}$ não corresponde ao tempo pedido. Ela surge de uma confusão: o candidato pode ter tentado usar a massa inicial de 500 g e a massa final de 100 g (pois $1/5$ de 500 é 100), montando algo como $\log(500/100) = \log 5$ , mas depois somou $\log 500$ indevidamente. O correto é apenas $\log 5$ no numerador, sem o termo $\log 500$ . A massa inicial não entra no cálculo do tempo, pois se cancela na equação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $8 \cdot \frac{\log 2}{\log 5}$ inverte a razão dos logaritmos. O correto é $\frac{\log 5}{\log 2}$ , não $\frac{\log 2}{\log 5}$ . Essa inversão é uma pegadinha clássica: o candidato que resolve a equação corretamente até $t = 8\cdot\frac{\log 5}{\log 2}$ pode, na pressa, inverter os termos ao transcrever. A razão correta vem de isolar $t$ : $t = 8\cdot\frac{\log 5}{\log 2}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{1}{8} \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ tem o fator $1/8$ em vez de $8$ . O erro está na manipulação algébrica: ao isolar $t$ , o $8$ que estava dividindo no expoente passa multiplicando, resultando em $t = 8\cdot\frac{\log 5}{\log 2}$ , não $\frac{1}{8}\cdot\frac{\log 5}{\log 2}$ . O candidato que erra aqui provavelmente inverteu a operação ao passar o $8$ para o outro lado da equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ é exatamente o resultado da resolução. Partindo de $2^{-t/8} = \frac{1}{5}$ , aplicamos logaritmo dos dois lados, usamos a propriedade $\log(a^b) = b\log a$ , e isolamos $t$ :

-\frac{t}{8}\log 2 = \log\frac{1}{5} = -\log 5 \Rightarrow \frac{t}{8}\log 2 = \log 5 \Rightarrow t = 8\cdot\frac{\log 5}{\log 2}

O fator 8 aparece porque a meia-vida é de 8 anos — é o tempo que multiplica a razão dos logaritmos. A razão $\log 5 / \log 2$ é o número de meias-vidas necessárias para a massa cair a $1/5$ do valor inicial (aproximadamente 2,32 meias-vidas, ou seja, cerca de 18,6 anos).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $8 \cdot \frac{\log 5 + \log 500}{\log 2}$ mistura dois erros: inclui $\log 500$ no numerador e soma com $\log 5$ . O termo $\log 500$ é um distrator que usa a massa inicial de 500 g, mas essa massa não entra no cálculo do tempo — ela se cancela na equação. O correto é apenas $\log 5$ no numerador, sem soma alguma. A soma de logaritmos só seria usada se houvesse um produto de argumentos, o que não é o caso aqui.

Gabarito: letra D — o tempo para a massa cair a $1/5$ da inicial é $8 \cdot \frac{\log 5}{\log 2}$ anos.

Link permanente: /questoes/ce415159