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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaGeral
Código
ce415161
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2025
Cargo
Vest ( )

Uma equipe de engenharia foi contratada para instalar 5 novos postes de iluminação distintos na Universidade de Brasília. Os postes deverão ter formato cilíndrico, altura de 9 m e diâmetro de 60 cm. Suas respectivas posições de instalação foram marcadas em um mapa da universidade. Dois dos postes serão instalados nos pontos P1(4, 3) e P2(12, 10), marcados no plano cartesiano, com distâncias medidas em metros.


Após a instalação dos postes, uma equipe fará inspeções e visitará 3 postes distintos em sequência. A ordem da visita a esses postes é importante. Os outros dois postes serão, então, vistoriados por um drone que decolará da origem O(0, 0) do sistema cartesiano. Durante sua manobra de decolagem, a altura h, em metros, em função do tempo t, em segundos, para esse modelo de drone, é dada pela função horária h(t) = -2t^{2} + 15t.

Com base nessas informações, julgue o item que se segue.   A equação da reta que passa pelos pontos P_{1} \; e \; P_{2} é dada por y = 78\frac{7}{8}x - 12\frac{1}{2}.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Analítica: equação da reta por dois pontos

Gabarito: letra C (CERTO). A equação da reta que passa por P₁(4, 3) e P₂(12, 10) é, de fato, y=78x−12y = \frac{7}{8}x - \frac{1}{2}. O coeficiente angular é m=10−312−4=78m = \frac{10 - 3}{12 - 4} = \frac{7}{8}, e substituindo o ponto P₁ na forma y=mx+ny = mx + n obtemos n=−12n = -\frac{1}{2}, confirmando a equação apresentada.

A questão cobra um conceito central da Geometria Analítica: determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos conhecidos. A reta é o conjunto de todos os pontos (x,y)(x, y) que satisfazem uma equação do primeiro grau. Quando conhecemos dois pontos distintos, a reta fica completamente determinada, e existem métodos diretos para encontrar sua equação.

O primeiro passo é calcular o coeficiente angular (ou declividade) da reta, que mede a sua inclinação. Dados dois pontos P1(x1,y1)P_1(x_1, y_1) e P2(x2,y2)P_2(x_2, y_2), o coeficiente angular mm é dado por:

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Esse valor representa a variação vertical (Δy\Delta y) dividida pela variação horizontal (Δx\Delta x) entre os dois pontos. No nosso caso, com P1(4,3)P_1(4, 3) e P2(12,10)P_2(12, 10):

m=10−312−4=78m = \frac{10 - 3}{12 - 4} = \frac{7}{8}

Com o coeficiente angular em mãos, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta, que relaciona um ponto conhecido (x0,y0)(x_0, y_0) com o coeficiente angular mm:

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

Substituindo m=78m = \frac{7}{8} e o ponto P1(4,3)P_1(4, 3):

y−3=78(x−4)y - 3 = \frac{7}{8}(x - 4)

Agora, isolamos yy para obter a forma reduzida da equação (y=mx+ny = mx + n):

y−3=78x−78⋅4y - 3 = \frac{7}{8}x - \frac{7}{8} \cdot 4
y−3=78x−288y - 3 = \frac{7}{8}x - \frac{28}{8}
y−3=78x−72y - 3 = \frac{7}{8}x - \frac{7}{2}
y=78x−72+3y = \frac{7}{8}x - \frac{7}{2} + 3
y=78x−72+62y = \frac{7}{8}x - \frac{7}{2} + \frac{6}{2}
y=78x−12y = \frac{7}{8}x - \frac{1}{2}

Exatamente a equação apresentada no enunciado. Para conferir, podemos verificar se o segundo ponto P2(12,10)P_2(12, 10) também satisfaz a equação:

y=78⋅12−12=848−12=212−12=202=10y = \frac{7}{8} \cdot 12 - \frac{1}{2} = \frac{84}{8} - \frac{1}{2} = \frac{21}{2} - \frac{1}{2} = \frac{20}{2} = 10

Como o resultado é y=10y = 10, que corresponde à coordenada yy de P2P_2, a equação está correta.

A pegadinha desta questão é justamente a necessidade de realizar os cálculos com frações com atenção. O coeficiente angular 78\frac{7}{8} é obtido corretamente, mas o coeficiente linear n=−12n = -\frac{1}{2} exige cuidado na manipulação algébrica: ao substituir o ponto, muitos candidatos erram o sinal ou a simplificação das frações, chegando a um valor diferente. A banca explora exatamente esse tipo de erro de cálculo.

Guarde o método: coeficiente angular → forma ponto-inclinação → isolar yy. Esse é o caminho padrão para encontrar a equação reduzida da reta por dois pontos, e é nele que a questão se resolve.

Ponto

Coordenadas (x, y)

Substituição em y = (7/8)x − 1/2

Resultado y

Confere?

P₁

(4, 3)

(7/8)·4 − 1/2 = 7/2 − 1/2 = 6/2

3

V

P₂

(12, 10)

(7/8)·12 − 1/2 = 21/2 − 1/2 = 20/2

10

V

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A equação y=78x−12y = \frac{7}{8}x - \frac{1}{2} é a forma reduzida da reta que passa por P1(4,3)P_1(4, 3) e P2(12,10)P_2(12, 10). O coeficiente angular é m=10−312−4=78m = \frac{10 - 3}{12 - 4} = \frac{7}{8}, e o coeficiente linear é n=−12n = -\frac{1}{2}, obtido substituindo o ponto P1P_1 na equação y=mx+ny = mx + n:

3=78⋅4+n⇒3=72+n⇒n=3−72=−123 = \frac{7}{8} \cdot 4 + n \Rightarrow 3 = \frac{7}{2} + n \Rightarrow n = 3 - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}

Portanto, a equação está correta.

Alternativa E — ❌ Errada

A alternativa E afirma que a equação está errada, mas os cálculos demonstram que ela está correta. O erro estaria em não realizar corretamente o cálculo do coeficiente angular ou do coeficiente linear, levando a uma equação diferente. Como a equação apresentada é a correta, a alternativa E é falsa.

Gabarito: letra C (CERTO).

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