Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaGeral
Código
ce415163
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Utilizado na culinária, especialmente na forma de creme ou suco, o açaí, fruto de uma palmeira amazônica (o açaizeiro), tem o formato esférico, com diâmetro que varia de 1 cm a 2,5 cm. A parte que se destina ao consumo de cada fruto é a polpa, que corresponde, em geral, a 10% do volume do fruto. Rico em antioxidantes e gorduras saudáveis, o açaí é um alimento fundamental na dieta das populações da região Norte do Brasil.   A partir dessas informações e considerando o formato esférico do açaí, julgue o item a seguir.   Caso a produção, em quilogramas, de frutos anuais produzidos por uma touceira de açaí seja representada pela expressão Q(x) = 10 - 10sen\text{sen}πx/6\pi x/6, em que 1 \le x \le 12 corresponda ao número do mês, sendo janeiro o mês 1, fevereiro o mês 2 e assim por diante, então a produção dessa touceira será máxima no mês de junho.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função trigonométrica aplicada à produção de açaí

Gabarito: letra E (ERRADO). A produção máxima da touceira ocorre quando o seno atinge seu valor mínimo, pois a função é Q(x)=10−10sen(πx/6)Q(x) = 10 - 10\text{sen}(\pi x/6). O seno é mínimo quando seu argumento é 3π/23\pi/2, o que ocorre em x=9x = 9, ou seja, em setembro — não em junho. A afirmação está incorreta.

A questão apresenta uma função trigonométrica que modela a produção mensal de frutos de uma touceira de açaí. Para analisar o comportamento dessa função, precisamos entender como o termo senoidal afeta o valor de Q(x)Q(x). A função é composta por uma constante (10) subtraída de um termo que varia entre -10 e 10 (pois o seno varia entre -1 e 1). Portanto, Q(x)Q(x) varia entre 0 e 20.

O ponto crucial é identificar quando ocorre o máximo. Como o termo senoidal é subtraído, o valor de Q(x)Q(x) será máximo quando o seno for mínimo, ou seja, quando sen(πx/6)=−1\text{sen}(\pi x/6) = -1. Isso acontece quando o argumento do seno é igual a 3π/23\pi/2 (ou 270°270°), pois sen(3π/2)=−1\text{sen}(3\pi/2) = -1. Resolvendo a equação πx/6=3π/2\pi x/6 = 3\pi/2, obtemos x=9x = 9. Como xx representa o mês (janeiro = 1, fevereiro = 2, ...), x=9x = 9 corresponde a setembro.

Vamos verificar os valores para alguns meses para confirmar o padrão:

  • Junho (x = 6): Q(6)=10−10sen(π⋅6/6)=10−10sen(π)=10−0=10Q(6) = 10 - 10\text{sen}(\pi \cdot 6/6) = 10 - 10\text{sen}(\pi) = 10 - 0 = 10.

  • Setembro (x = 9): Q(9)=10−10sen(π⋅9/6)=10−10sen(3π/2)=10−10(−1)=20Q(9) = 10 - 10\text{sen}(\pi \cdot 9/6) = 10 - 10\text{sen}(3\pi/2) = 10 - 10(-1) = 20.

Assim, a produção máxima é 20 kg, ocorrendo em setembro, e não em junho, onde a produção é 10 kg (valor médio). A banca explora a confusão entre o ponto onde o seno é máximo (que daria o mínimo da função) e o ponto onde o seno é mínimo (que dá o máximo da função).

NÃO CAIA NESSA!

A banca inverte o raciocínio: como a função é 10−10sen(...)10 - 10\text{sen}(...), muitos candidatos procuram o máximo do seno (que ocorre em π/2\pi/2, ou seja, x=3x = 3, março) e esquecem que o sinal negativo inverte o comportamento. O máximo da função ocorre no mínimo do seno, que é em 3π/23\pi/2 (x=9x = 9, setembro).

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a produção máxima ocorre em junho está incorreta. Conforme demonstrado, o máximo ocorre em setembro (x=9x = 9), quando sen(3π/2)=−1\text{sen}(3\pi/2) = -1 e Q(9)=20Q(9) = 20. Em junho (x=6x = 6), a produção é Q(6)=10Q(6) = 10, que é o valor médio da função, não o máximo.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Link permanente: /questoes/ce415163