Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Números complexos: inverso de um número complexo

Gabarito: letra E (ERRADO). O ponto B tem coordenadas (4, 6), logo o número complexo correspondente é $z_B = 4 + 6i$. O inverso de um número complexo $z = a + bi$ é dado por $\frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$. Aplicando essa fórmula, temos $\frac{1}{z_B} = \frac{4 - 6i}{4^2 + 6^2} = \frac{4 - 6i}{52} = \frac{4}{52} - \frac{6}{52}i = \frac{1}{13} - \frac{3}{26}i$, que é diferente de $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}i$.

A questão envolve a representação de pontos do plano cartesiano como números complexos e o cálculo do inverso de um número complexo. O ponto B(4, 6) é representado pelo número complexo $z_B = 4 + 6i$, onde a parte real (4) é a coordenada x e a parte imaginária (6) é a coordenada y. O inverso de um número complexo $z = a + bi$ é calculado usando o conjugado: $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$. O denominador $a^2 + b^2$ é o quadrado do módulo do número complexo.

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos $a = 4$ e $b = 6$. O quadrado do módulo é $4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$. O conjugado de $4 + 6i$ é $4 - 6i$. Portanto, $\frac{1}{z_B} = \frac{4 - 6i}{52}$. Simplificando a fração, dividimos o numerador e o denominador por 4, obtendo $\frac{1}{13} - \frac{3}{26}i$. Este é o valor correto do inverso.

A afirmação do enunciado apresenta $\frac{1}{z_B} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}i$, que é um valor completamente diferente. O erro provavelmente vem de uma confusão: o candidato pode ter simplesmente invertido as coordenadas do ponto, escrevendo $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}i$ em vez de calcular o inverso do número complexo. Ou pode ter usado a fórmula incorreta, invertendo apenas a parte real e a parte imaginária sem considerar o módulo. A pegadinha está em não aplicar a definição correta de inverso de um número complexo.

Para resolver corretamente, é essencial lembrar que o inverso de um número complexo não é simplesmente o inverso de cada uma de suas partes. A fórmula correta envolve o conjugado e o módulo. Vamos verificar o cálculo passo a passo:

1. Identificar o número complexo: $z_B = 4 + 6i$.

2. Calcular o módulo ao quadrado: $|z_B|^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.

3. Encontrar o conjugado: $\bar{z}_B = 4 - 6i$.

4. Aplicar a fórmula do inverso: $\frac{1}{z_B} = \frac{\bar{z}_B}{|z_B|^2} = \frac{4 - 6i}{52}$.

5. Simplificar: $\frac{4}{52} - \frac{6}{52}i = \frac{1}{13} - \frac{3}{26}i$.

O resultado final é $\frac{1}{13} - \frac{3}{26}i$, que não é igual a $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}i$. Portanto, a afirmação está incorreta.

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O cálculo correto do inverso de $z_B = 4 + 6i$ é $\frac{1}{13} - \frac{3}{26}i$, e não $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}i$. O erro está em não utilizar a fórmula do inverso de um número complexo, que é $\frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$. A alternativa apresenta um valor que não corresponde ao inverso correto, provavelmente por uma inversão simples das coordenadas ou por um erro na aplicação da fórmula.

Gabarito: letra E