Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415173

MatemáticaOutras Questões sobre Funções

Código: ce415173
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2025

Cargo: Vest ( )

Os levantamentos da Sisbiota‑Mar indicaram que o atol das Rocas é a mais preservada das quatro ilhas oceânicas brasileiras. Mesmo em Fernando de Noronha, que possui status de parque nacional, a área protegida sustenta uma população humana crescente e existe uma área fora do parque em que são permitidas atividades como a pesca. No arquipélago de São Pedro e São Paulo, a 1.000 km de Natal, já não há tubarões e os cardumes de atum foram bastante reduzidos por causa da pesca excessiva.

As águas do atol das Rocas, a 267 km de Natal, Rio Grande do Norte, abrigam um dos fenômenos mais chamativos dos recifes, quando os peixes predadores se concedem momentos de trégua e se submetem à limpeza realizada por outros peixes e camarões. Os peixes limpadores se especializaram em comer parasitas, tecidos doentes ou muco de peixes maiores e tartarugas, que os especialistas chamam de clientes. “Como resultado dessas interações, os clientes mantêm a saúde e o limpador consegue alimento, mas os dois lados tiveram que evoluir até se reconhecerem e não se atacarem na hora da limpeza”, resume um biólogo, pesquisador da UFSC.

Em 2016, os biólogos observaram 319 interações de limpeza entre os peixes, em profundidades variando de 1 m 5 m, durante 44 horas ao longo de 22 dias. Duas espécies exclusivas da região foram as mais atuantes: o bodião-de-noronha (Thalassoma noronhanum), que atinge 12 cm quando adulto, e o neon-cata-piolho (Elacatinus phthirophagus), de até 4 cm. O neon-cata-piolho apresentou uma dieta flexível, abandonando os hábitos herbívoros de outros lugares para, no atol, saciar-se com vermes, até mesmo arriscando-se ao se aproximar de clientes carnívoros, como o tubarão-lixa (Ginglymostoma cirratum), que chega a 4 m de comprimento e 100 kg de peso.

Carlos Fioravanti. Aliança do fundo do mar. In: Revista FAPESP, edição 258, ago./2017 (com adaptações).

Leia o texto. Julgue o item a seguir, considerando o texto apresentado e que ln(15) = loge(15) = 2,7, que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2, a densidade da água do mar, ρ = 1.000 kg/m3 e a pressão atmosférica no nível do mar, P0 = 1 atm = 105 Pa: Considere que, em um estudo de longo prazo, tenha sido observado que a população do bodião-de-noronha satisfaz ao modelo apresentado a seguir, em que t é o tempo, em anos, decorrido desde o início do monitoramento.

P(t) = \frac{8.000}{1 + 15e^{-0,15t}}

Nesse caso, a população para de crescer no momento em que atinge 4.000 indivíduos.

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GabaritoE — Errado

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Modelo logístico de crescimento populacional

Gabarito: letra E (ERRADO). A população do bodião-de-noronha não para de crescer ao atingir 4.000 indivíduos; na verdade, ela continua crescendo e se aproxima assintoticamente de 8.000 indivíduos, que é a capacidade suporte do modelo. A afirmação confunde o ponto de inflexão da curva logística (onde a taxa de crescimento é máxima, em P = 4.000) com o momento em que a população para de crescer (que ocorre apenas quando P se aproxima de 8.000).

O modelo apresentado, $P(t) = \frac{8.000}{1 + 15e^{-0,15t}}$ , é um clássico modelo de crescimento logístico, muito usado em biologia para descrever populações que crescem em um ambiente com recursos limitados. A ideia central é que a população não cresce indefinidamente: ela começa crescendo de forma acelerada, depois o ritmo desacelera e, por fim, estabiliza-se em um valor máximo, chamado de capacidade suporte (ou carga máxima). Nesse modelo, a capacidade suporte é o valor do numerador da fração, ou seja, 8.000 indivíduos. Matematicamente, isso ocorre porque, quando $t$ tende ao infinito, o termo $15e^{-0,15t}$ tende a zero, fazendo o denominador tender a 1 e, portanto, $P(t)$ tender a 8.000.

Para entender por que a afirmação está errada, é preciso analisar o comportamento da função. Quando $t = 0$ , temos $P(0) = \frac{8.000}{1 + 15} = \frac{8.000}{16} = 500$ indivíduos. A população cresce a partir de 500, mas a taxa de crescimento não é constante. O ponto em que a população atinge 4.000 indivíduos é especial: é o chamado ponto de inflexão da curva logística. Nesse ponto, a taxa de crescimento (a derivada $P'(t)$ ) atinge seu valor máximo. Ou seja, a população está crescendo no ritmo mais rápido possível, mas isso não significa que ela parou de crescer. Pelo contrário, ela continua crescendo, apenas em um ritmo cada vez menor, até se aproximar de 8.000.

Vamos verificar isso algebricamente. Para encontrar o tempo em que a população atinge 4.000, resolvemos:

4.000 = \frac{8.000}{1 + 15e^{-0,15t}}

Dividindo ambos os lados por 4.000, obtemos:

1 = \frac{2}{1 + 15e^{-0,15t}}

1 + 15e^{-0,15t} = 2

15e^{-0,15t} = 1

e^{-0,15t} = \frac{1}{15}

Aplicando logaritmo natural dos dois lados:

-0,15t = \ln\left(\frac{1}{15}\right) = -\ln(15)

t = \frac{\ln(15)}{0,15}

Usando o dado fornecido, $\ln(15) = 2,7$ , temos:

t = \frac{2,7}{0,15} = 18 \text{ anos}

Portanto, a população atinge 4.000 indivíduos em $t = 18$ anos. Mas o que acontece depois? Vamos calcular a população em um tempo posterior, por exemplo, $t = 20$ anos:

P(20) = \frac{8.000}{1 + 15e^{-0,15 \cdot 20}} = \frac{8.000}{1 + 15e^{-3}}

Como $e^{-3} \approx 0,0498$ , temos:

P(20) \approx \frac{8.000}{1 + 15 \cdot 0,0498} = \frac{8.000}{1 + 0,747} = \frac{8.000}{1,747} \approx 4.579

Ou seja, em $t = 20$ anos, a população já é de aproximadamente 4.579 indivíduos, maior que 4.000. Isso prova que a população não para de crescer ao atingir 4.000; ela continua crescendo, embora cada vez mais devagar, aproximando-se de 8.000.

A pegadinha da questão está em confundir o ponto de inflexão (onde a taxa de crescimento é máxima) com o ponto de estabilização (onde a taxa de crescimento é zero). No modelo logístico, a taxa de crescimento $P'(t)$ é uma função que começa pequena, cresce até um máximo em $P = 4.000$ (metade da capacidade suporte) e depois diminui, tendendo a zero conforme $P$ se aproxima de 8.000. A população só "para de crescer" no limite, quando atinge a capacidade suporte, o que nunca acontece em tempo finito — ela se aproxima assintoticamente.

Para fixar o conceito, veja a comparação entre os dois pontos críticos:

Critério	Ponto de inflexão (P = 4.000)	Capacidade suporte (P = 8.000)
Taxa de crescimento	Máxima	Zero (assintótica)
A população para de crescer?	Não, continua crescendo	Sim, tende a estabilizar
Tempo para atingir	$t = 18$ anos	$t \to \infty$
Significado biológico	Fase de crescimento acelerado	Limite do ambiente

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que sabe que 4.000 é um número "especial" no modelo logístico (por ser metade da capacidade suporte) pode ser levado a pensar que ali a população para de crescer. Mas o correto é que ali a população cresce no ritmo máximo. Guarde essa distinção: no modelo logístico, a população para de crescer apenas quando se aproxima da capacidade suporte, nunca antes.

Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO

A afirmação de que "a população para de crescer no momento em que atinge 4.000 indivíduos" é falsa. Como demonstrado, em $t = 18$ anos a população atinge 4.000, mas continua crescendo: em $t = 20$ anos, já são aproximadamente 4.579 indivíduos. O valor 4.000 corresponde ao ponto de inflexão da curva logística, onde a taxa de crescimento é máxima, e não ao ponto de estabilização. A população só para de crescer quando se aproxima da capacidade suporte de 8.000 indivíduos, o que ocorre assintoticamente, ou seja, nunca em um tempo finito. Portanto, o item está ERRADO.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Modelo logístico de crescimento populacional

Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO