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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
ce415191
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
As ondas de imigração humana modernas geralmente ocorrem de áreas política e socialmente menos estáveis para áreas mais promissoras. Em alguns casos, os imigrantes, incluídos homens, mulheres, idosos e crianças, chegam ao local desejado e são alojados provisoriamente.   Certo dia, em um prédio utilizado como alojamento provisório de imigrantes, um grupo de crianças descobriu no último pavimento a existência de uma escada que dava acesso à cobertura do prédio e teve a ideia de subir até lá para jogar futebol. Elas, então, subiram a escada, de 2 metros de comprimento, que estava encostada em uma parede perpendicular ao chão onde ela se apoiava, formando um ângulo de 45°.   Durante a partida de futebol, uma criança chutou a bola a partir do chão da cobertura para cima, e esta foi lançada, acidentalmente, do topo do prédio para fora, em direção à rua. A altura da bola h(t) em relação ao chão da rua, em metros, após t segundos, é dada pela função h(t) = -t^2 + 2t + 8.   A partir dessas informações, julgue o item a seguir.   A altura máxima da trajetória da bola foi atingida dois segundos após seu lançamento.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função do segundo grau: vértice da parábola

Gabarito: letra E (ERRADO). A altura máxima da bola é atingida no vértice da parábola, cuja abscissa é dada por tv=−b2at_v = -\frac{b}{2a}. Para h(t)=−t2+2t+8h(t) = -t^2 + 2t + 8, temos a=−1a = -1 e b=2b = 2, logo tv=−22⋅(−1)=1t_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 segundo — e não 2 segundos como afirma o item. O valor 2, na verdade, é o coeficiente bb da função, e não o instante do ponto máximo.

A função quadrática h(t)=−t2+2t+8h(t) = -t^2 + 2t + 8 descreve a altura da bola em relação ao chão da rua. Como o coeficiente a=−1a = -1 é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo, o que significa que a função possui um ponto de máximo — exatamente o vértice da parábola. O instante em que esse máximo ocorre é dado pela fórmula tv=−b2at_v = -\frac{b}{2a}, que é a coordenada xx (ou tt, no caso) do vértice. Essa fórmula decorre da simetria da parábola: o vértice está no ponto médio entre as duas raízes, e a abscissa média das raízes x1x_1 e x2x_2 é x1+x22=−b/a2=−b2a\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-b/a}{2} = -\frac{b}{2a}.

Aplicando ao caso concreto: a=−1a = -1, b=2b = 2 e c=8c = 8. Substituindo na fórmula, temos tv=−22⋅(−1)=−2−2=1t_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1. Portanto, a altura máxima é atingida 1 segundo após o lançamento. Para confirmar, podemos calcular a altura nesse instante: h(1)=−(1)2+2(1)+8=−1+2+8=9h(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 metros. Em t=2t = 2 segundos, a altura seria h(2)=−(2)2+2(2)+8=−4+4+8=8h(2) = -(2)^2 + 2(2) + 8 = -4 + 4 + 8 = 8 metros — ou seja, a bola já estaria descendo. O valor 2 que aparece no item é justamente o coeficiente bb da função, um distrator clássico: o candidato que confunde o coeficiente com o vértice erra a questão.

A pegadinha aqui é sutil: o enunciado pergunta "dois segundos após seu lançamento", e o número 2 está presente na função como coeficiente de tt. Mas o vértice não é lido diretamente dos coeficientes — é calculado pela fórmula tv=−b/2at_v = -b/2a. Outra forma de verificar é pelas raízes da função: h(t)=0⇒−t2+2t+8=0h(t) = 0 \Rightarrow -t^2 + 2t + 8 = 0, cujas raízes são t=−2t = -2 e t=4t = 4 (por Girard, soma = 2 e produto = -8). O vértice está no ponto médio entre as raízes: −2+42=1\frac{-2 + 4}{2} = 1. Confirma-se, por dois caminhos independentes, que o instante do máximo é t=1t = 1 s.

Guarde o critério decisivo: para achar o instante do valor máximo (ou mínimo) de uma função do 2º grau, use tv=−b2at_v = -\frac{b}{2a} — nunca "chute" olhando para os coeficientes. É exatamente nesse cálculo que o item se resolve.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a altura máxima foi atingida dois segundos após o lançamento está incorreta. O instante do vértice é tv=−b2a=−22⋅(−1)=1t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 segundo. Em t=2t = 2 s, a altura é h(2)=8h(2) = 8 m, menor que a altura máxima de h(1)=9h(1) = 9 m — a bola já estaria em movimento descendente. O número 2 é o coeficiente bb, não o tempo do máximo.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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