Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415198

MatemáticaGeral

Código: ce415198
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2025

Cargo: Vest ( )

Biocombustíveis são fontes de energia renováveis, ou seja, podem ser produzidos de maneira sustentável. Um exemplo de biocombustível é o biodiesel, muito utilizado no Brasil. Ele pode ser produzido a partir de diversas plantas, como soja, girassol, mamona, palma (dendê), amendoim, algodão, canola, macaúba e castanha-do-pará.

Outro exemplo de biocombustível é o etanol. No Brasil, o etanol é produzido principalmente a partir da cana-de-açúcar. Já nos Estados Unidos da América, o milho é a matéria-prima mais comum para a produção de etanol. Tanto o biodiesel quanto o etanol são usados como combustíveis para veículos que funcionam com motores a combustão.

Um motor a combustão opera em um ciclo contínuo, composto por quatro etapas, também chamadas de tempos. São elas: (i) admissão, em que o ar e o combustível são introduzidos no cilindro; (ii) compressão, em que o pistão comprime a mistura de ar e combustível; (iii) combustão (ou expansão), em que uma faísca provoca a queima da mistura, com o pistão empurrado no sentido oposto; e (iv) escape, em que o pistão sobe novamente, expulsando os gases queimados do cilindro. A figura I ilustra essas etapas. A parte do motor na qual acontece a mistura de ar com o combustível tem a forma de um cilindro circular reto com altura, em cm, h e diâmetro, em cm, d.

Esse ciclo, que transforma energia térmica em energia mecânica, se repete continuamente para gerar a força que movimenta o veículo. A figura II representa o ciclo termodinâmico idealizado de um motor a etanol, em que P representa a pressão, e V, o volume.

reação	\Delta H (kJ)
$C_2H_5OH(l) + 3 O_2(g) \rightarrow 2 CO_2(g) + 3 H_2O(g)$	-1.400
$H_2(g) + \frac{1}{2} O_2(g) \rightarrow H_2O(g)$	-270
$C(s) + O_2(g) \rightarrow CO_2(g)$	-400

A partir das figuras e informações apresentadas anteriormente, considerando as variações de entalpia (\DeltaH) associadas às respectivas reações químicas fornecidas na tabela, bem como que os gases se comportem de forma ideal, julgue o item abaixo.

Caso a parede lateral do cilindro no qual acontece a mistura de ar com o combustível tenha espessura igual a 0,5 cm, então o volume do material que forma essa parede é superior a πrh, em que r representa o raio do cilindro.

CCerto
EErrado

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GabaritoC — Certo

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Volume do material da parede de um cilindro

Gabarito: letra C (CERTO). O volume do material da parede lateral de um cilindro circular reto com espessura $e$ é dado por $V_{parede} = \pi h [(r+e)^2 - r^2] = \pi h (2re + e^2)$ . Com $e = 0{,}5$ cm, temos $V_{parede} = \pi h (r + 0{,}25)$ , que é superior a $\pi r h$ , pois $r + 0{,}25 > r$ para qualquer $r > 0$ . A afirmação está correta.

O problema pede para comparar o volume do material que forma a parede lateral do cilindro com a expressão $\pi r h$ . Para isso, precisamos entender o que é esse volume. Imagine um cilindro oco, como um cano: ele tem um raio externo $R$ e um raio interno $r$ . A parede é a região entre esses dois cilindros. O volume do material da parede é a diferença entre o volume do cilindro externo e o volume do cilindro interno.

O volume de um cilindro circular reto é dado por $V = \pi \times (\text{raio})^2 \times \text{altura}$ . Se o raio interno é $r$ e a espessura da parede é $e$ , então o raio externo é $R = r + e$ . Assim, o volume da parede é:

V_{parede} = \pi (r+e)^2 h - \pi r^2 h = \pi h [(r+e)^2 - r^2]

Expandindo o quadrado: $(r+e)^2 = r^2 + 2re + e^2$ . Subtraindo $r^2$ , ficamos com $2re + e^2$ . Portanto:

V_{parede} = \pi h (2re + e^2)

Com a espessura $e = 0{,}5$ cm, substituímos:

V_{parede} = \pi h (2 \cdot r \cdot 0{,}5 + 0{,}5^2) = \pi h (r + 0{,}25)

Agora, comparemos com $\pi r h$ . A diferença é:

V_{parede} - \pi r h = \pi h (r + 0{,}25) - \pi r h = \pi h \times 0{,}25

Como $\pi$ , $h$ e $0{,}25$ são todos positivos (a altura $h$ é uma medida física, portanto $h > 0$ ), a diferença é sempre positiva. Isso significa que $V_{parede} > \pi r h$ para qualquer valor de $r$ e $h$ positivos. A afirmação é, portanto, verdadeira.

A pegadinha aqui é sutil: muitos candidatos podem tentar calcular o volume da parede como se fosse a área lateral ( $2\pi r h$ ) multiplicada pela espessura, o que daria $2\pi r h \times 0{,}5 = \pi r h$ , e concluir que o volume é igual a $\pi r h$ . No entanto, essa aproximação ignora o fato de que o raio externo é maior que o interno, e o volume real é um pouco maior. A diferença $\pi h e^2$ (com $e=0{,}5$ , $\pi h \times 0{,}25$ ) é exatamente o que torna o volume superior.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o volume exato da parede (diferença entre cilindros) e a aproximação "área lateral × espessura". Se você calcular $2\pi r h \times 0{,}5 = \pi r h$ , concluirá que é igual, e marcará ERRADO. Mas o volume real é $\pi h (r + 0{,}25)$ , que é maior que $\pi r h$ . A diferença de $0{,}25\pi h$ é o termo que a aproximação ignora.

Caso	Comparação	Resultado
Volume exato da parede: $V_{parede} = \pi h (r + 0{,}25)$	(V_{parede}) vs. $\pi r h$	$V_{parede} > \pi r h$ $diferença (0{,}25\pi h > 0)$
Aproximação incorreta: $2\pi r h \times 0{,}5 = \pi r h$	(V_{aprox}) vs. $\pi r h$	$V_{aprox} = \pi r h$ (igual, mas incorreto)

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O volume do material da parede é $V_{parede} = \pi h [(r+0{,}5)^2 - r^2] = \pi h (r + 0{,}25)$ , que é superior a $\pi r h$ , pois $r + 0{,}25 > r$ . A diferença é $0{,}25\pi h > 0$ .

Gabarito: letra C (CERTO).

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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Volume do material da parede de um cilindro

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO