Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Função seno e periodicidade: posição do pistão

Gabarito: letra C (CERTO). O pistão estará na mesma posição nos instantes $t = \frac{401}{80}$ e $t = \frac{641}{80}$ porque a função $f(t) = \frac{21}{5} \text{sen}(200\pi t)$ é periódica, e a diferença entre esses dois instantes é um múltiplo inteiro do período. O período da função é $T = \frac{2\pi}{200\pi} = \frac{1}{100}$ segundos, e a diferença entre os instantes é $\frac{641}{80} - \frac{401}{80} = \frac{240}{80} = 3$ segundos, que é exatamente $300$ vezes o período. Portanto, a função assume o mesmo valor nesses dois pontos.

A função seno é uma função periódica, ou seja, seu valor se repete em intervalos regulares. O período da função $f(t) = A \cdot \text{sen}(\omega t)$ é dado por $T = \frac{2\pi}{\omega}$. No caso, $\omega = 200\pi$, então o período é $T = \frac{2\pi}{200\pi} = \frac{1}{100}$ segundos. Isso significa que a cada $\frac{1}{100}$ de segundo, o pistão retorna à mesma posição. Para verificar se dois instantes $t_1$ e $t_2$ correspondem à mesma posição, basta verificar se a diferença $t_2 - t_1$ é um múltiplo inteiro do período. Se for, então $f(t_1) = f(t_2)$.

Vamos aplicar isso ao problema. Temos $t_1 = \frac{401}{80}$ e $t_2 = \frac{641}{80}$. A diferença é:

Agora, dividimos essa diferença pelo período:

Como o resultado é um número inteiro (300), a diferença é um múltiplo inteiro do período. Portanto, a função assume o mesmo valor nos dois instantes, e o pistão estará na mesma posição. A afirmação está correta.

A pegadinha dessa questão é que os números fracionários podem assustar, mas a resolução é simples: basta calcular a diferença entre os tempos e verificar se ela é um múltiplo do período. O candidato que não lembrar da fórmula do período pode tentar substituir os valores diretamente na função, o que também funciona, mas é mais trabalhoso. Outra armadilha é confundir o período com a frequência: a frequência é $f = \frac{\omega}{2\pi} = 100$ Hz, e o período é o inverso, $T = \frac{1}{100}$ s. A banca pode tentar confundir esses conceitos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, a diferença entre os instantes é de 3 segundos, que é um múltiplo inteiro (300 vezes) do período da função ($\frac{1}{100}$ s). Portanto, $f\left(\frac{401}{80}\right) = f\left(\frac{641}{80}\right)$, e o pistão estará na mesma posição. A resolução se baseia na propriedade de periodicidade da função seno, que é um conceito fundamental de funções trigonométricas.

Gabarito: letra C