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Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
ce415203
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2025
Cargo
Vest ( )

Uma plantação de cana-de-açúcar localizada em uma região plana foi idealizada sobre um plano cartesiano xOy, cujas unidades estão em metros. A reta r, representada pela expressão 3x + 4y = 800, indica uma linha reta localizada no centro de uma estrada retilínea que cruza o canavial, destinada ao tráfego de caminhões utilizados para o transporte da cana-de-açúcar.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.   A distância mínima do ponto P(500,30) até o centro da estrada é superior a 200\ m.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distância de um ponto a uma reta

Gabarito: letra E (ERRADO). A distância mínima do ponto P(500, 30) ao centro da estrada é a distância do ponto à reta r: 3x + 4y = 800. Calculando pela fórmula da distância de ponto a reta, obtemos exatamente 200 m, e não um valor superior a 200 m. Portanto, a afirmação de que a distância é superior a 200 m está incorreta.

A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto à reta. É a menor distância possível entre o ponto e qualquer ponto da reta. Para calcular essa distância, usamos a fórmula:

d(P,r)=∣a⋅x0+b⋅y0+c∣a2+b2d(P, r) = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

onde a reta está na forma geral ax+by+c=0ax + by + c = 0 e o ponto é P(x0,y0)P(x_0, y_0).

No problema, a reta é 3x+4y=8003x + 4y = 800. Para usar a fórmula, precisamos reescrevê-la na forma geral, passando o 800 para o lado esquerdo:

3x+4y−800=03x + 4y - 800 = 0

Assim, temos a=3a = 3, b=4b = 4 e c=−800c = -800. O ponto é P(500,30)P(500, 30), então x0=500x_0 = 500 e y0=30y_0 = 30.

Substituindo na fórmula:

d=∣3⋅500+4⋅30−800∣32+42d = \frac{|3 \cdot 500 + 4 \cdot 30 - 800|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}
d=∣1500+120−800∣9+16d = \frac{|1500 + 120 - 800|}{\sqrt{9 + 16}}
d=∣820∣25d = \frac{|820|}{\sqrt{25}}
d=8205d = \frac{820}{5}
d=200 md = 200 \text{ m}

O cálculo mostra que a distância mínima é exatamente 200 metros. A afirmação do item diz que essa distância é superior a 200 m, o que é falso, pois ela é igual a 200 m.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com a palavra "superior". Muitos podem calcular a distância e, ao obter 200, marcar "Certo" por associar a um valor grande, sem perceber que "superior a 200" significa maior que 200, e não igual a 200. A pegadinha está na interpretação do comparativo: a distância é exatamente 200, portanto não é superior.

Proposição

Distância calculada (d)

Afirmação: "d > 200"

Valor-verdade da afirmação

p: "A distância mínima é superior a 200 m"

d = 200 m

200 > 200

F

~p: "A distância mínima não é superior a 200 m"

d = 200 m

200 ≤ 200

V

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a distância mínima do ponto P ao centro da estrada é superior a 200 m. O cálculo correto mostra que a distância é exatamente 200 m. O erro está no uso do termo "superior a", que indica um valor maior que 200, quando na verdade o valor é igual a 200. A distância não é superior, é igual.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa E (Errado) é a correta, pois a afirmação do item é falsa. A distância mínima calculada é 200 m, e não superior a 200 m. O item está errado porque a distância é exatamente 200 m, e não maior que isso.

Gabarito: letra E

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