Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Geometria Analítica: posição relativa entre retas

Gabarito: letra E (ERRADO). As retas r e s não são paralelas, pois seus coeficientes angulares são diferentes: a reta r tem inclinação $-\frac{3}{4}$, enquanto a reta s tem inclinação $\frac{4}{3}$. Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares devem ser iguais, o que não ocorre aqui.

O estudo da posição relativa entre duas retas no plano cartesiano é um dos temas centrais da Geometria Analítica. Quando temos duas retas escritas na forma geral $ax + by + c = 0$, podemos analisar se elas são paralelas, concorrentes ou coincidentes comparando seus coeficientes. A forma mais direta é transformar cada equação para a forma reduzida $y = mx + n$, onde $m$ é o coeficiente angular (a inclinação da reta) e $n$ é o coeficiente linear (o ponto onde a reta corta o eixo y).

Para a reta r, dada por $3x + 4y = 800$, isolamos y: $4y = -3x + 800$, logo $y = -\frac{3}{4}x + 200$. O coeficiente angular de r é $m_r = -\frac{3}{4}$.

Para a reta s, dada por $3y - 4x + 800 = 0$, isolamos y: $3y = 4x - 800$, logo $y = \frac{4}{3}x - \frac{800}{3}$. O coeficiente angular de s é $m_s = \frac{4}{3}$.

Como $m_r = -\frac{3}{4}$ e $m_s = \frac{4}{3}$, os coeficientes angulares são diferentes. Além disso, observe que $m_r \cdot m_s = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1$, o que indica que as retas são, na verdade, perpendiculares entre si, e não paralelas. Essa é a pegadinha clássica da banca: ela troca os coeficientes de x e y de uma equação para a outra, o que inverte a inclinação e transforma retas paralelas em perpendiculares.

Na prática, se você estivesse dirigindo um caminhão pela estrada r e virasse em um trajeto s, faria uma curva de 90 graus, não seguiria em linha reta paralela. O critério decisivo para esta questão é simples: duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais. Guarde essa regra e compare sempre os valores de $m$ antes de concluir qualquer coisa sobre paralelismo.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que os trajetos r e s são paralelos está incorreta. Conforme calculado, o coeficiente angular de r é $m_r = -\frac{3}{4}$ e o de s é $m_s = \frac{4}{3}$. Como $m_r \neq m_s$, as retas não são paralelas. Na verdade, o produto dos coeficientes é $-1$, o que caracteriza retas perpendiculares. Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).