Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415206

MatemáticaGeral

Código: ce415206
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2025

Cargo: Vest ( )

Uma plantação de cana-de-açúcar localizada em uma região plana foi idealizada sobre um plano cartesiano xOy, cujas unidades estão em metros. A reta r, representada pela expressão 3x + 4y = 800, indica uma linha reta localizada no centro de uma estrada retilínea que cruza o canavial, destinada ao tráfego de caminhões utilizados para o transporte da cana-de-açúcar.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir. Para cada par ordenado P(x,y), considere o par ordenado Q(a,b), em que a e b sejam, respectivamente, a primeira e a segunda linha da matriz obtida a partir do produto matricial a seguir.

\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}

\cdot

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Nessa situação, se P(x,y) pertencer ao segmento de reta 3x + 4y = 800, que está no primeiro quadrante (isto é, x > 0 e y > 0), os respectivos pontos Q(a,b) formarão um segmento de reta no quarto quadrante.

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GabaritoC — Certo

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Transformação linear e quadrantes: a rotação de 90° no plano cartesiano

Gabarito: letra C (CERTO). A matriz $ $\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{bmatrix}$ $ aplicada ao ponto $P(x,y)$ produz $Q(a,b) = (y, -x)$ . Essa é uma rotação de 90° no sentido horário em torno da origem. Como o segmento original está no primeiro quadrante ( $x>0$ e $y>0$ ), todos os pontos transformados terão $a = y > 0$ e $b = -x < 0$ , ou seja, estarão no quarto quadrante. A afirmação está correta.

A questão combina dois conceitos: multiplicação de matrizes e geometria analítica (quadrantes do plano cartesiano). Vamos entender cada parte.

Primeiro, a multiplicação da matriz $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ pelo vetor coluna $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ :

M \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot x + 1 \cdot y \\ -1 \cdot x + 0 \cdot y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ -x \end{bmatrix}

Portanto, o ponto transformado é $Q(a,b) = (y, -x)$ . Geometricamente, essa matriz representa uma rotação de 90° no sentido horário (ou, equivalentemente, 270° no sentido anti-horário) em torno da origem. Isso porque o vetor $(1,0)$ (eixo x positivo) é levado em $(0,-1)$ (eixo y negativo), e o vetor $(0,1)$ (eixo y positivo) é levado em $(1,0)$ (eixo x positivo).

Agora, o segmento de reta original está no primeiro quadrante, onde $x > 0$ e $y > 0$ . Isso significa que todos os pontos $P(x,y)$ desse segmento têm ambas as coordenadas positivas. Ao aplicar a transformação, obtemos $Q(a,b) = (y, -x)$ . Como $y > 0$ , temos $a > 0$ ; e como $x > 0$ , temos $b = -x < 0$ . Portanto, todo ponto transformado tem coordenada $a$ positiva e coordenada $b$ negativa, o que caracteriza exatamente o quarto quadrante (onde $x > 0$ e $y < 0$ ).

A transformação preserva a colinearidade (é uma transformação linear), então a imagem do segmento de reta é outro segmento de reta, e todos os seus pontos estão no quarto quadrante. A afirmação é verdadeira.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o sentido da rotação. A matriz $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ é uma rotação de 90° no sentido horário. Se o aluno inverter o sinal (usando $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , que é a rotação anti-horária), chegaria a $Q = (-y, x)$ , que estaria no segundo quadrante. Mas a matriz dada é exatamente a do sentido horário, levando ao quarto quadrante. Fique atento à ordem dos elementos da matriz!

Caso	P(x,y) no 1º quadrante (x>0, y>0)	Q(a,b) = (y, −x)	Quadrante de Q
1	x>0, y>0	a = y > 0, b = −x < 0	4º quadrante (a>0, b<0)
2	x>0, y>0	a = y > 0, b = −x < 0	4º quadrante (a>0, b<0)
3	x>0, y>0	a = y > 0, b = −x < 0	4º quadrante (a>0, b<0)

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A matriz $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ aplicada a $P(x,y)$ resulta em $Q(y, -x)$ . Como o segmento original está no primeiro quadrante ( $x>0$ , $y>0$ ), o transformado terá $a = y > 0$ e $b = -x < 0$ , ou seja, estará no quarto quadrante. A transformação é linear, então a imagem de um segmento é outro segmento, e todos os seus pontos estão no quarto quadrante.

Gabarito: letra C (CERTO).

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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Transformação linear e quadrantes: a rotação de 90° no plano cartesiano

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO