Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — CESPE / CEBRASPE 2025

Polinômios e divisibilidade: produção total × demanda

Gabarito: letra E (ERRADO). A quantidade total produzida anualmente é a soma $p_1(x) + p_2(x) = 3x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 250$, e a demanda é $q(x) = 50x + 150$. Para que a produção seja sempre divisível pela demanda, o polinômio da produção teria de ser divisível por $50x + 150$ para todo $x \ge 1$, o que não ocorre — basta testar um valor, como $x = 1$: a produção total é $3 - 2 - 5 + 250 = 246$, e a demanda é $50 + 150 = 200$; $246$ não é divisível por $200$. Portanto, a afirmação é falsa.

O enunciado apresenta duas funções polinomiais que descrevem a produção de cada tipo de veículo e uma função afim que descreve a demanda total. A quantidade total produzida anualmente é a soma das produções dos dois tipos: $p_1(x) + p_2(x)$. Somando os polinômios termo a termo, temos:

Note que o texto-base apresenta $p_1(x) = 2x^4 - x^3 - 10x^2 = 234$, o que é uma notação atípica — provavelmente um erro de digitação, devendo ser $p_1(x) = 2x^4 - x^3 - 10x^2 + 234$. Assumindo essa correção, a soma é $3x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 484$.

A questão pede para julgar se a produção total é sempre divisível pela demanda. Para que um polinômio $P(x)$ seja divisível por outro $D(x)$, é necessário que exista um polinômio $Q(x)$ tal que $P(x) = D(x) \cdot Q(x)$ para todo $x$. Uma forma prática de verificar é testar valores: se para algum $x$ a divisão não for exata, a afirmação é falsa. Testando $x = 1$:

• Produção total: $3(1)^4 - 2(1)^3 - 5(1)^2 + 484 = 3 - 2 - 5 + 484 = 480$

• Demanda: $50(1) + 150 = 200$

• $480 \div 200 = 2,4$ — não é um número inteiro, logo a produção não é divisível pela demanda.

Mesmo que a interpretação da expressão de $p_1(x)$ seja diferente (por exemplo, se o "= 234" fosse parte da expressão, como $2x^4 - x^3 - 10x^2 = 234$, o que seria uma equação e não uma função), a afirmação de que a produção é sempre divisível pela demanda não se sustenta, pois a produção total é um polinômio de grau 4 e a demanda é um polinômio de grau 1 — a divisão só seria exata se o polinômio de grau 4 fosse múltiplo do de grau 1, o que não é o caso para todos os valores de $x$.

A pegadinha da banca está em o candidato tentar dividir os polinômios genericamente e concluir pela divisibilidade, sem testar valores concretos. A divisibilidade de polinômios exige que o resto seja zero para todo $x$, e isso só ocorre se o dividendo for um múltiplo exato do divisor. Como a produção total é um polinômio de grau 4 e a demanda é de grau 1, a divisão só seria exata se o polinômio de grau 4 fosse divisível pelo de grau 1, o que não ocorre — basta um contraexemplo para derrubar a afirmação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que a quantidade total produzida é sempre divisível pela quantidade demandada. Isso é falso, pois, como demonstrado, para $x = 1$ a produção total é 480 e a demanda é 200, e 480 não é divisível por 200 (o quociente é 2,4). A divisibilidade exigiria que a produção total fosse um múltiplo inteiro da demanda para todo $x \ge 1$, o que não ocorre. O erro está em generalizar a divisibilidade sem verificar casos concretos — a banca explora a tentação de dividir os polinômios e concluir pela divisibilidade, mas a divisão não é exata.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa está correta ao afirmar que a produção total não é sempre divisível pela demanda. O contraexemplo com $x = 1$ é suficiente para refutar a afirmação: produção total = 480, demanda = 200, e 480 não é divisível por 200. Além disso, a estrutura dos polinômios (grau 4 vs. grau 1) torna improvável a divisibilidade exata para todos os valores de $x$. Portanto, a afirmação do enunciado é errada.

Gabarito: letra E (ERRADO).