Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Divisão de números complexos: aplicação ao quociente z₂/z₁

Gabarito: letra E (ERRADO). O quociente $\frac{z_2}{z_1} = \frac{1+6i}{2+2i}$ é igual a $\frac{7}{4} + \frac{5}{4}i$, e não $\frac{7}{4} - \frac{7}{4}i$. O erro está na parte imaginária: o valor correto é $+\frac{5}{4}i$, não $-\frac{7}{4}i$. A resolução usa a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, como veremos a seguir.

A divisão de números complexos é uma operação que se resolve de forma análoga à racionalização de denominadores em frações com raízes. O objetivo é eliminar a parte imaginária do denominador, transformando o quociente em um número da forma $a + bi$. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo $z = a + bi$ é $\bar{z} = a - bi$, ou seja, repetimos a parte real e trocamos o sinal da parte imaginária. Essa técnica funciona porque o produto de um número complexo pelo seu conjugado resulta em um número real: $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$.

No caso da questão, temos $z_1 = 2 + 2i$ e $z_2 = 1 + 6i$. O conjugado de $z_1$ é $\bar{z_1} = 2 - 2i$. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado, obtemos:

Calculando o denominador: $(2+2i)(2-2i) = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$. Calculando o numerador: $(1+6i)(2-2i) = 2 - 2i + 12i - 12i^2 = 2 + 10i + 12 = 14 + 10i$. Portanto, o quociente é $\frac{14+10i}{8} = \frac{14}{8} + \frac{10}{8}i = \frac{7}{4} + \frac{5}{4}i$.

A banca apresentou um resultado com a parte imaginária incorreta. O candidato que erra essa questão geralmente comete um deslize na multiplicação dos termos imaginários, esquecendo de aplicar corretamente a propriedade $i^2 = -1$, ou então troca o sinal ao subtrair os argumentos na forma trigonométrica. É importante dominar a técnica algébrica da divisão, pois ela é a mais direta e segura para resolver esse tipo de problema.

Guarde o passo a passo: identificar o conjugado do denominador, multiplicar numerador e denominador por ele, simplificar usando $i^2 = -1$ e, por fim, dividir parte real e parte imaginária pelo denominador real resultante. É exatamente nesse processo que a alternativa se separa: o valor correto da parte imaginária é $+\frac{5}{4}i$, e não $-\frac{7}{4}i$.

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O quociente $\frac{z_2}{z_1}$ não é igual a $\frac{7}{4} - \frac{7}{4}i$. O cálculo correto é:

O erro está na parte imaginária: o valor correto é $+\frac{5}{4}i$, não $-\frac{7}{4}i$. A banca trocou o sinal e o valor do coeficiente imaginário, provavelmente para testar se o candidato domina a multiplicação de binômios complexos e a simplificação final. O denominador real é 8, e a parte imaginária do numerador é 10, resultando em $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

Gabarito: letra E (ERRADO).