Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415211

MatemáticaGeral

Código: ce415211
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2025

Cargo: Vest ( )

De forma a verificar todos os métodos de resolução de sistemas lineares, serão determinadas todas as correntes em todos os laços da rede no circuito 1, mostrado a seguir. Será respeitada a convenção passiva de sinais em conjunto com a lei de Ohm, e todos os cálculos serão feitos para todos os métodos apresentados.

Para a comparação dos métodos, serão usadas as correntes em cada um dos componentes, sendo ia a corrente que sai da fonte de 7\ V;\ i_b, a corrente que passa pelo resistor de 1 \Omega à esquerda; i_c, a corrente que passa pelo resistor de 2 \Omega à direita; i_d, a corrente que passa pelo resistor de 3 \Omega;\ i_e, a corrente que passa pelo resistor de 2 \Omega à esquerda, que é a mesma corrente que flui pela fonte de 6\ V; e i_f, a corrente que passa pelo resistor de 1 \Omega à direita.

Utilizando-se a lei de Kirchhoff nos três laços do circuito, com i_1, i_2\ e\ i_3 como incógnitas, três equações são obtidas. Três equações e três incógnitas indicam que o sistema tem solução determinável. As equações dos laços da direita, do laço superior esquerdo e do laço inferior direito são, respectivamente, as equações (1),\ (2)\ e\ (3) a seguir.

3i_1 − i_2 − 2i_3 = 1\ \ \ \ \ \ (1)

−i_1 + 6i_2 − 3i_3 = 0\ \ \ \ \ \ (2)

−2i_1 −3i_2 + 6i_3 = 6\ \ \ \ \ \ (3)

G. R. Oliveira e S. Joner. Uma abordagem de circuitos elétricos utilizando sistemas lineares.
Simpósio de métodos numéricos em Engenharia, UFPR, 2017 (com adaptações).

Se as equações (1),\ (2)\ e\ (3) forem agrupadas em um sistema denominado (*), apresentado a seguir, é possível associar uma matriz A aos coeficientes desse sistema, o que direciona e facilita os cálculos das correntes em cada uma das malhas do circuito 1.

(*) $\quad$ $\begin{cases} 3i_1 - i_2 - 2i_3 = 1 \quad (1) \\ - i_1 + 6i_2 - 3i_3 = 0 \quad (2) \\ -2i_1 - 3i_2 + 6i_3 = 6 \quad (3) \end{cases}$

A =

\begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -1 & 6 & -3 \\ -2 & -3 & 6 \end{bmatrix}

A partir das informações anteriores e da representação do circuito 1 apresentada, julgue o item seguinte. Considere que seja acrescentada ao sistema a equação (4), obtida pela soma da equação da linha (1) com a da linha (2), de modo que o sistema (*) se torne o sistema (**) a seguir. (**)

\quad

\begin{cases} 3i_1 - i_2 - 2i_3 = 1 \quad (1) \\ - i_1 + 6i_2 - 3i_3 = 0 \quad (2) \\ -2i_1 - 3i_2 + 6i_3 = 6 \quad (3) \\ 2i_1 + 5i_2 - 5i_3 = 1 \quad (4) \end{cases}

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Sistemas lineares: equivalência por combinação linear de equações

Gabarito: letra C (CERTO). A equação (4) do sistema () é exatamente a soma das equações (1) e (2) do sistema (*): somando os coeficientes de $i_1$ , $i_2$ e $i_3$ e os termos independentes, obtém-se $2i_1 + 5i_2 - 5i_3 = 1$ , que é a equação (4) apresentada. Como a equação (4) é uma combinação linear das equações (1) e (2), ela não acrescenta nenhuma informação nova ao sistema — o conjunto solução de () é idêntico ao de (*).

O que está em jogo aqui é o conceito de equações equivalentes e de combinação linear de equações em um sistema linear. Quando você soma duas equações de um sistema, a equação resultante é uma consequência lógica das duas originais: qualquer solução que satisfaça as equações (1) e (2) automaticamente satisfaz a equação (4). Isso significa que a equação (4) é redundante — ela não restringe o conjunto de soluções, apenas repete, de forma combinada, as informações que já estavam nas equações (1) e (2).

Vamos verificar a soma na prática. A equação (1) é $3i_1 - i_2 - 2i_3 = 1$ e a equação (2) é $-i_1 + 6i_2 - 3i_3 = 0$ . Somando os termos correspondentes:

Coeficiente de $i_1$ : $3 + (-1) = 2$
Coeficiente de $i_2$ : $-1 + 6 = 5$
Coeficiente de $i_3$ : $-2 + (-3) = -5$
Termo independente: $1 + 0 = 1$

Resultado: $2i_1 + 5i_2 - 5i_3 = 1$ , que é precisamente a equação (4) do sistema (**).

A consequência prática é que o sistema () tem 4 equações, mas apenas 3 delas são linearmente independentes. O sistema original (*) já tinha 3 equações e 3 incógnitas, com solução determinada (o texto-base afirma que "o sistema tem solução determinável"). Ao acrescentar uma equação que é combinação linear das outras, o número de equações independentes continua sendo 3, e o conjunto solução não muda. Em outras palavras, o sistema () é equivalente ao sistema (*): ambos têm exatamente as mesmas soluções para $i_1$ , $i_2$ e $i_3$ .

A pegadinha que a banca explora aqui é a tentação de pensar que "mais equações = mais restrições = solução diferente". Isso só seria verdade se a equação (4) fosse independente das demais — ou seja, se ela não pudesse ser obtida por combinação linear das outras. Como ela é exatamente a soma de (1) e (2), ela é dependente e não altera o sistema. Guarde essa distinção: equação redundante não muda o conjunto solução; apenas equações independentes o restringem.

Equação	Coeficiente de (i_1)	Coeficiente de (i_2)	Coeficiente de (i_3)	Termo independente	Resultado da soma
(1)	3	-1	-2	1	(3i_1 - i_2 - 2i_3 = 1)
(2)	-1	6	-3	0	(-i_1 + 6i_2 - 3i_3 = 0)
(1) + (2)	(3 + (-1) = 2)	(-1 + 6 = 5)	(-2 + (-3) = -5)	(1 + 0 = 1)	(2i_1 + 5i_2 - 5i_3 = 1)
(4)	2	5	-5	1	(2i_1 + 5i_2 - 5i_3 = 1)
Comparação	Igual	Igual	Igual	Igual	Equivalente

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação é correta. A equação (4) foi obtida pela soma da equação (1) com a equação (2), e a verificação algébrica confirma:

(3i_1 - i_2 - 2i_3) + (-i_1 + 6i_2 - 3i_3) = 1 + 0 \Rightarrow 2i_1 + 5i_2 - 5i_3 = 1

Como a equação (4) é uma combinação linear das equações (1) e (2), ela é linearmente dependente delas. O sistema () continua com apenas 3 equações independentes para 3 incógnitas, mantendo o mesmo conjunto solução do sistema (*). Portanto, acrescentar a equação (4) não altera as soluções do sistema — a afirmação está certa**.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de sistemas lineares, sempre que uma nova equação for apresentada, verifique se ela é combinação linear das anteriores. Se for, o sistema é equivalente e a solução não muda. Se não for, o sistema pode ficar impossível (sem solução) ou indeterminado (infinitas soluções). Teste rápido: some as equações e veja se o resultado bate com a nova equação.

Gabarito: letra C (CERTO).

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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2025

Sistemas lineares: equivalência por combinação linear de equações

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO