Questão de Raciocínio Lógico — Tautologia, Contradição e Contingência — CESPE / CEBRASPE 2025

Tautologia, Contradição e Contingência

Gabarito: letra C (CERTO). A proposição é uma tautologia porque o lado esquerdo da bicondicional é exatamente a negação do lado direito, e uma bicondicional entre uma proposição e sua negação é sempre verdadeira. Aplicando as Leis de Morgan, vemos que ~(Q → P) ˅ [(~B) ˅ (~C)] é logicamente equivalente a ~[(B ˄ C) ˄ (Q → P)], tornando a bicondicional uma tautologia.

Para entender por que essa proposição é uma tautologia, precisamos dominar três conceitos: a definição de tautologia, a negação de proposições compostas (Leis de Morgan) e a equivalência lógica. Uma tautologia é uma proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro, independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Para verificar se uma proposição é tautológica, construímos sua tabela-verdade: se a última coluna tiver apenas valores V, é tautologia; se tiver apenas F, é contradição; se tiver V e F, é contingência.

A chave desta questão está em reconhecer que o lado esquerdo da bicondicional é a negação do lado direito. Vamos analisar:

• Lado esquerdo: ~(Q → P) ˅ [(~B) ˅ (~C)]

• Lado direito: ~[(B ˄ C) ˄ (Q → P)]

Pelas Leis de Morgan, a negação de uma conjunção é a disjunção das negações: ~(X ˄ Y) ≡ ~X ˅ ~Y. Aplicando ao lado direito, temos:

~[(B ˄ C) ˄ (Q → P)] ≡ ~(B ˄ C) ˅ ~(Q → P)

Aplicando novamente as Leis de Morgan a ~(B ˄ C):

~(B ˄ C) ≡ ~B ˅ ~C

Portanto, o lado direito se torna:

(~B ˅ ~C) ˅ ~(Q → P)

Que é exatamente o lado esquerdo, apenas com a ordem dos termos trocada (a disjunção é comutativa). Assim, a proposição original é:

[~(Q → P) ˅ (~B ˅ ~C)] ↔ [~(Q → P) ˅ (~B ˅ ~C)]

Uma bicondicional entre uma proposição e ela mesma é sempre verdadeira, pois P ↔ P é uma tautologia. Portanto, a proposição dada é uma tautologia.

Vamos confirmar com um exemplo concreto. Suponha que Q seja "chove", P seja "a rua está molhada", B seja "estou de guarda-chuva" e C seja "estou de capa". O lado esquerdo diz "não é verdade que se chove então a rua está molhada, ou não estou de guarda-chuva, ou não estou de capa". O lado direito diz "não é verdade que (estou de guarda-chuva e estou de capa) e (se chove então a rua está molhada)". Perceba que ambos afirmam exatamente a mesma coisa: ou a implicação é falsa, ou pelo menos um dos dois (guarda-chuva ou capa) está ausente. Como são equivalentes, a bicondicional entre eles é sempre verdadeira.

A pegadinha desta questão é que muitos candidatos tentam construir a tabela-verdade completa com 16 linhas (4 proposições simples), o que é trabalhoso e propenso a erros. A banca espera que o candidato reconheça a estrutura lógica e aplique as Leis de Morgan para simplificar a expressão antes de qualquer análise.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A proposição é uma tautologia. Demonstramos que o lado esquerdo da bicondicional é logicamente equivalente ao lado direito, pois:

1. Aplicando as Leis de Morgan ao lado direito: ~[(B ˄ C) ˄ (Q → P)] ≡ ~(B ˄ C) ˅ ~(Q → P) ≡ (~B ˅ ~C) ˅ ~(Q → P).

2. O lado esquerdo é ~(Q → P) ˅ (~B ˅ ~C), que é exatamente o mesmo, apenas com a ordem dos termos da disjunção trocada.

3. Como a disjunção é comutativa, os dois lados são idênticos.

4. Uma bicondicional entre uma proposição e ela mesma (P ↔ P) é sempre verdadeira, portanto é uma tautologia.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a proposição não é uma tautologia. Isso está errado, pois, como demonstrado, a proposição é sempre verdadeira. O erro do candidato que marca esta alternativa geralmente vem de não aplicar as Leis de Morgan corretamente ou de tentar construir a tabela-verdade completa sem simplificar a expressão, cometendo erros de cálculo.

Gabarito: letra C (CERTO).