Matemática Financeira · CESGRANRIO · 2018 | Questão sqc-cg012248

Taxa real de juros em financiamento com correção mensal

Gabarito: letra A (2,44%). A taxa nominal de 12% a.a. com capitalização mensal resulta em taxa efetiva anual de aproximadamente 12,68%. Aplicando a fórmula de Fisher para descontar a inflação de 10% a.a., obtém-se a taxa real de 2,44% a.a. — esse é o ganho real do financiador.

A questão exige que se converta a taxa nominal (linear) em efetiva, pois o enunciado diz “correção mensal do saldo e das prestações”, indicando capitalização mensal. Só então se calcula a taxa real pela relação:

1 + i_{\text{efetiva}} = (1 + r) \times (1 + I)

onde $i_{\text{efetiva}}$ é a taxa efetiva anual, $r$ a taxa real anual e $I$ a inflação anual.

Cálculo passo a passo:

Taxa efetiva mensal: $i_m = \frac{12\%}{12} = 1\% = 0,01$ a.m.
Taxa efetiva anual: $i_{\text{efetiva}} = (1 + 0,01)^{12} - 1 = 1,126825 - 1 = 0,126825 \approx 12,68\%$ a.a.
Taxa real anual: $r = \frac{1 + i_{\text{efetiva}}}{1 + I} - 1 = \frac{1,126825}{1,10} - 1 = 1,024386 - 1 = 0,024386 \approx 2,44\%$ a.a.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo correto leva a 2,44% a.a. A taxa nominal de 12% a.a. com capitalização mensal gera taxa efetiva de ~12,68%, e descontada a inflação de 10% resulta na taxa real de 2,44%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

2,00% é o resultado da simples diferença entre a taxa nominal anual (12%) e a inflação (10%), ignorando a capitalização mensal e a fórmula exponencial. Esse valor não corresponde à taxa real.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1,98% é um valor próximo, mas não exato. Pode surgir de um arredondamento inadequado ou do uso de juros simples na capitalização mensal (12%/12 = 1% ao mês, mas com juros lineares em vez de compostos).

Alternativa D — ❌ Incorreta

1,82% é o resultado se aplicássemos a fórmula de Fisher diretamente com a taxa nominal anual de 12% sem capitalização mensal: $r = (1+0,12)/(1+0,10)-1 = 1,01818-1 = 1,82\%$ . Esse seria o valor correto se a taxa de 12% fosse efetiva anual, mas o enunciado impõe capitalização mensal, tornando essa alternativa um distrator clássico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

-2,38% seria a taxa real se os juros nominais fossem menores que a inflação (perda real). Não é o caso, pois 12% a.a. (efetivo ~12,68%) supera a inflação de 10%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca espera que o candidato utilize a taxa nominal de 12% a.a. diretamente na fórmula de Fisher, sem capitalizar mensalmente, obtendo 1,82% (alternativa D). A chave é perceber que “correção mensal” implica capitalização composta mensal, elevando a taxa efetiva anual e, consequentemente, a taxa real.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de financiamento ou investimento com capitalização periódica, sempre converta a taxa nominal para efetiva antes de aplicar a fórmula de Fisher. A relação (1+i_nominal) = (1+r)*(1+I) só vale se i_nominal for a taxa efetiva do período.

Gabarito: letra A.