Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg020738

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 36% — alternativa B.

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de expressar uma parte de um todo, dividindo-o em 100 partes. Quando falamos em aumento de 25%, significa que o valor passa a ser 125% do original, ou seja, multiplicamos por 1,25. Em regime composto, cada aumento incide sobre o valor já aumentado, não sobre o valor inicial, então os fatores se multiplicam.

Para dois aumentos sucessivos de i1 e i2, o fator total é (1+i1)·(1+i2). No caso, (1,25)·(1,25) = 1,5625, ou seja, o preço final é 156,25% do original. Para voltar ao valor original, precisamos de um fator de redução d tal que 1,5625·d = 1, logo d = 1/1,5625 = 0,64, o que corresponde a um desconto de 36% (100% − 64%).

Esta questão cobra exatamente o cálculo do desconto equivalente a dois aumentos compostos. O erro clássico é somar os percentuais (25% + 25% = 50%) em vez de multiplicar os fatores, e a banca coloca essa armadilha na alternativa C.

O que a questão dá

aumento 1 = 25%
aumento 2 = 25%
regime composto

O que queremos: o desconto percentual que anula os dois aumentos

Passo 1 — Calcular o fator de aumento total

Em regime composto, cada aumento incide sobre o valor já acrescido do anterior. Por isso, não podemos somar 25% + 25%; precisamos multiplicar os fatores de aumento. O fator de aumento de 25% é 1,25, pois o valor passa a ser 125% do original.

Por que esta fórmula: A fórmula do fator total para aumentos sucessivos é o produto dos fatores individuais: (1+i1)·(1+i2). Isso porque o segundo aumento é aplicado sobre o resultado do primeiro.

f_{total} = (1 + i_1) \times (1 + i_2)

De onde vem cada valor: $i_1$ = enunciado: 25% = 0,25 · $i_2$ = enunciado: 25% = 0,25

f_{total} = (1 + 0{,}25) \times (1 + 0{,}25) = 1{,}25 \times 1{,}25 = \boxed{1{,}5625}

NÃO CAIA NESSA!

Somar os percentuais: 25% + 25% = 50%, o que daria fator 1,50, mas o correto é multiplicar, resultando em 1,5625.

Passo 2 — Descobrir o fator de redução necessário

O preço final é o original multiplicado por 1,5625. Para voltar ao preço original, precisamos de um fator que, multiplicado por 1,5625, resulte em 1. Esse fator é o inverso de 1,5625.

Por que esta fórmula: Se P é o preço original, após os aumentos temos P·1,5625. Queremos um fator d tal que P·1,5625·d = P, então d = 1/1,5625.

d = \frac{1}{f_{total}}

De onde vem cada valor: $f_{total}$ = passo 1: 1,5625

d = \frac{1}{1{,}5625} = \boxed{0{,}64}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o fator de redução (0,64) com o desconto (36%). O fator 0,64 significa que o preço final deve ser reduzido para 64% do valor atual.

Passo 3 — Converter o fator em desconto percentual

O fator de redução 0,64 indica que o preço final deve ser multiplicado por 0,64, ou seja, o preço fica em 64% do valor atual. O desconto é a diferença entre 100% e 64%.

Por que esta fórmula: Desconto percentual = (1 − d) × 100%. Se d = 0,64, então o desconto é 0,36, ou 36%.

desconto = (1 - d) \times 100\%

De onde vem cada valor: $d$ = passo 2: 0,64

desconto = (1 - 0{,}64) \times 100\% = 0{,}36 \times 100\% = \boxed{36\ \%}

NÃO CAIA NESSA!

Responder 64% (o fator de redução) em vez de 36% (o desconto). A alternativa E é essa pegadinha.

Resposta: 36% — alternativa B

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESGRANRIO 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o fator de aumento total

Passo 2 — Descobrir o fator de redução necessário

Passo 3 — Converter o fator em desconto percentual