Questão de Matemática — Matemática Financeira — CESGRANRIO 2024

Taxas equivalentes em juros compostos

Gabarito: letra A. As igualdades mostram que 10% ao mês, 21% ao bimestre e 77,2% ao semestre são taxas equivalentes, pois produzem o mesmo fator de capitalização $(1,1)^6 = 1,772$ ao longo de 6 meses. A equivalência de taxas em juros compostos é verificada pela igualdade dos fatores $(1+i)^n$ para o mesmo prazo total.

O que são taxas equivalentes?

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. No regime de juros compostos, a equivalência é verificada pela igualdade dos fatores de capitalização $(1+i)^n$. Isso significa que não importa se a taxa é mensal, bimestral ou semestral: o que importa é que, ao final do mesmo período, o montante seja idêntico.

A questão fornece a sequência de igualdades que já resolve o problema:

$(1,21)^3 = ((1,1)^2)^3 = (1,1)^6 = 1,772$

Vamos interpretar cada termo:

• $(1,1)^2 = 1,21$: o fator de 10% ao mês elevado a 2 meses (bimestre) é 1,21, ou seja, 21% ao bimestre.

• $(1,21)^3 = 1,772$: o fator de 21% ao bimestre elevado a 3 bimestres (semestre) é 1,772, ou seja, 77,2% ao semestre.

• $(1,1)^6 = 1,772$: o fator de 10% ao mês elevado a 6 meses (semestre) também é 1,772.

Portanto, as três taxas — 10% a.m., 21% a.b. e 77,2% a.s. — são equivalentes, pois todas produzem o mesmo fator de capitalização ao final de 6 meses.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre taxas proporcionais (juros simples) e taxas equivalentes (juros compostos). Em juros simples, 10% ao mês é proporcional a 20% ao bimestre (basta multiplicar por 2). Em juros compostos, a equivalência exige a potenciação: $(1,1)^2 = 1,21$, ou seja, 21% ao bimestre. O candidato que aplica a lógica de juros simples marca a alternativa errada.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta exatamente as taxas equivalentes: 10% ao mês, 21% ao bimestre e 77,2% ao semestre. A verificação é direta:

• 10% a.m. → fator mensal = 1,1

• 21% a.b. → fator bimestral = $(1,1)^2 = 1,21$ (ou seja, 21%)

• 77,2% a.s. → fator semestral = $(1,1)^6 = 1,772$ (ou seja, 77,2%)

Todas produzem o mesmo montante para o mesmo prazo, confirmando a equivalência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B troca o período da segunda taxa: afirma que 21% é a taxa trimestral equivalente. Mas, em juros compostos, a taxa trimestral equivalente a 10% a.m. é $(1,1)^3 - 1 = 0,331 = 33,1\%$, não 21%. O valor 21% corresponde à taxa bimestral, não à trimestral.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta taxas que não são equivalentes entre si. 10% ao semestre, 21% ao trimestre e 77,2% ao ano não produzem o mesmo fator de capitalização para um mesmo prazo. Por exemplo, 10% a.s. equivale a $(1,1)^2 - 1 = 21\%$ ao ano, não 77,2%. A banca mistura períodos incompatíveis.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D usa taxas de 1% ao mês, 2,1% ao bimestre e 7,72% ao semestre. Verificando: $(1,01)^2 = 1,0201$, ou seja, 2,01% ao bimestre, não 2,1%. E $(1,01)^6 = 1,0615$, ou seja, 6,15% ao semestre, não 7,72%. Os valores não batem com a potenciação correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E também usa taxas de 1% ao mês, mas com períodos trocados: 2,1% ao trimestre e 7,72% ao semestre. A taxa trimestral equivalente a 1% a.m. é $(1,01)^3 - 1 = 3,03\%$, não 2,1%. E a semestral é 6,15%, não 7,72%. Os valores estão incorretos.

Conclusão

A única alternativa que apresenta taxas verdadeiramente equivalentes em juros compostos é a letra A. A chave é lembrar que, em juros compostos, a equivalência se dá pela igualdade dos fatores $(1+i)^n$, e não pela simples proporcionalidade dos juros simples.

Gabarito: letra A