Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg020740

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 60 grupos diferentes — alternativa C.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto. Quando a ordem dos escolhidos não importa — por exemplo, escolher os funcionários A e B é o mesmo que escolher B e A — usamos a combinação simples. Ela responde: 'de quantas formas posso escolher p elementos de um total de n, sem me importar com a sequência?'.

A fórmula da combinação simples é C(n,p) = n! / [p!(n-p)!]. O fatorial n! é o produto de todos os inteiros de n até 1. O denominador elimina as contagens repetidas: p! remove as permutações internas dos escolhidos e (n-p)! remove as dos não escolhidos. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, que não divide por p!.

Nesta questão, temos duas escolhas independentes: 2 entre 4 e 3 entre 5. Como são etapas sucessivas, multiplicamos as combinações (princípio multiplicativo). O erro clássico é usar arranjo, contando a ordem como relevante.

O que a questão dá

4 funcionários na gerência de atendimento
5 funcionários na gerência administrativa
grupo de 5 funcionários, com 2 de atendimento e 3 administrativos

O que queremos: o número máximo de grupos diferentes que podem ser formados

Passo 1 — Calcular as combinações de cada gerência

Precisamos saber de quantas maneiras podemos escolher os funcionários de cada gerência separadamente. Como a ordem dentro do grupo não importa, usamos combinação simples.

Por que esta fórmula: A fórmula C(n,p) = n! / [p!(n-p)!] é a definição de combinação. Ela conta as escolhas sem considerar a ordem.

C_{4,2} = \frac{4!}{2!(4-2)!}

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: 4 funcionários de atendimento · $2$ = enunciado: 2 devem ser escolhidos

C_{4,2} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \boxed{6}

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(4,2) = 12, contando a ordem como relevante

Passo 2 — Calcular a combinação da gerência administrativa

Agora fazemos o mesmo para a outra gerência: escolher 3 entre 5. Novamente a ordem não importa.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula de combinação, agora com n=5 e p=3.

C_{5,3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: 5 funcionários administrativos · $3$ = enunciado: 3 devem ser escolhidos

C_{5,3} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \boxed{10}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelo fatorial de (n-p), resultando em 60 em vez de 10

Passo 3 — Multiplicar as combinações das duas gerências

As escolhas são independentes: para cada grupo de 2 de atendimento, podemos combinar com qualquer grupo de 3 administrativos. O princípio multiplicativo diz que o total é o produto das possibilidades de cada etapa.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova; é a aplicação do princípio multiplicativo da contagem.

Total = C_{4,2} \times C_{5,3}

De onde vem cada valor: $C_{4,2}$ = passo 1: 6 · $C_{5,3}$ = passo 2: 10

Total = 6 \times 10 = \boxed{60}

NÃO CAIA NESSA!

Somar as combinações (6+10=16) em vez de multiplicar

Resposta: 60 grupos diferentes — alternativa C

Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESGRANRIO 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular as combinações de cada gerência

Passo 2 — Calcular a combinação da gerência administrativa

Passo 3 — Multiplicar as combinações das duas gerências