Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg020741

Probabilidade com arranjos e intercalação de vogais e consoantes

Gabarito: letra D. A probabilidade é de 1/5, pois há 72 senhas favoráveis (duas vogais e duas consoantes intercaladas) entre 360 senhas possíveis (arranjo de 6 letras tomadas 4 a 4). O cálculo usa a razão entre casos favoráveis e casos totais, combinando arranjos e o princípio multiplicativo.

A ideia por trás

Probabilidade, na definição clássica, é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis de um experimento aleatório. Aqui, o experimento é formar uma senha de 4 letras distintas, escolhidas entre 6 letras disponíveis (A, E, O, Z, W, Y). Como a ordem das letras importa (cada sequência diferente é uma senha diferente), usamos arranjo para contar os casos.

O total de senhas possíveis é o arranjo de 6 letras tomadas 4 a 4: $A_{6,4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ . Esse é o espaço amostral.

Agora, o evento favorável: a senha deve ter duas vogais e duas consoantes em posições intercaladas. As vogais disponíveis são A, E, O (3 vogais) e as consoantes são Z, W, Y (3 consoantes).

Para contar os casos favoráveis, precisamos considerar:

A ordem das vogais entre si: escolher 2 vogais entre 3, com ordem importando, é um arranjo: $A_{3,2} = 3 \times 2 = 6$ .
A ordem das consoantes entre si: escolher 2 consoantes entre 3, com ordem importando, é outro arranjo: $A_{3,2} = 3 \times 2 = 6$ .
A posição das vogais e consoantes na senha: para que fiquem intercaladas, as posições podem ser V C V C ou C V C V — ou seja, 2 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, o número de casos favoráveis é $6 \times 6 \times 2 = 72$ .

A probabilidade é, então:

P = \frac{72}{360} = \frac{1}{5}

Por que a ordem importa?

A senha é uma sequência ordenada de letras. A senha "AEZW" é diferente de "AZEW", por exemplo. Por isso, usamos arranjo (que considera a ordem) e não combinação (que não considera). Se usássemos combinação, contaríamos apenas os grupos de letras, ignorando as diferentes ordens em que podem aparecer — o que subestimaria tanto os casos favoráveis quanto os totais, mas de forma proporcional, o que poderia até dar o mesmo resultado em alguns casos, mas não é o método correto para senhas.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre arranjo e combinação, e também entre escolher as letras e ordená-las. Muitos candidatos contam apenas as combinações de 2 vogais entre 3 e 2 consoantes entre 3, esquecendo de multiplicar pelas permutações internas e pelas 2 formas de intercalar. Outros esquecem de considerar as duas ordens possíveis (VCVC e CVCV), contando apenas uma.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você esqueça de multiplicar pelas 2 formas de intercalar (VCVC e CVCV) ou que use combinação em vez de arranjo. Se você contar apenas $C_{3,2} \times C_{3,2} = 3 \times 3 = 9$ combinações de letras, sem considerar as ordens, chegaria a um resultado errado. Lembre-se: senha é sequência, ordem importa!

Resumo do raciocínio

Passo	Cálculo	Resultado
Total de senhas	$A_{6,4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3$	360
Arranjo das vogais	$A_{3,2} = 3 \times 2$	6
Arranjo das consoantes	$A_{3,2} = 3 \times 2$	6
Formas de intercalar	VCVC ou CVCV	2
Casos favoráveis	$6 \times 6 \times 2$	72
Probabilidade	$72 / 360$	1/5

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

1/2 seria o resultado se os casos favoráveis fossem 180, o que não ocorre. Esse valor poderia surgir se o candidato considerasse apenas a intercalação sem multiplicar pelas escolhas das letras, ou se confundisse o total de casos. Não há fundamento para 180 casos favoráveis.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1/3 seria o resultado se os casos favoráveis fossem 120. Isso poderia ocorrer se o candidato esquecesse de multiplicar pelas 2 formas de intercalar (ficaria com 36 casos favoráveis, resultando em 1/10, não 1/3) ou se errasse o total de casos. Não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1/4 seria o resultado se os casos favoráveis fossem 90. Esse valor não tem base no problema. Pode surgir de um erro na contagem dos arranjos ou na multiplicação dos fatores.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade correta é 1/5, pois $P = 72/360 = 1/5$ . O cálculo considera o arranjo de 6 letras tomadas 4 a 4 para o total (360), e para os casos favoráveis, o arranjo de 3 vogais tomadas 2 a 2 (6), o arranjo de 3 consoantes tomadas 2 a 2 (6), e as 2 formas de intercalar (VCVC ou CVCV), totalizando $6 \times 6 \times 2 = 72$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

1/6 seria o resultado se os casos favoráveis fossem 60. Esse valor não corresponde ao cálculo correto. Pode surgir se o candidato usar combinação em vez de arranjo, ou se esquecer de considerar as duas formas de intercalar as letras.

Gabarito: letra D