A soma x₀ + y₀ + z₀ é igual aGabaritoC — 10
Gabarito: letra C — a conta chega a x₀ + y₀ + z₀ = 10 — alternativa C.
Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. A solução é a tripla de números que, substituída nas três equações, faz todas elas valerem. Em vez de sempre resolver o sistema inteiro, muitas vezes dá para combinar as equações — somar, subtrair ou multiplicar por constantes — para obter diretamente a expressão que o problema pede.
A combinação linear de equações funciona porque, se cada equação é verdadeira, então qualquer soma (ou subtração) delas também é verdadeira. Por exemplo, somar a primeira equação com a terceira produz uma nova equação que vale para a mesma solução. Essa técnica é útil quando o que se pede é uma combinação das incógnitas, como x + y + z, e não cada incógnita separadamente.
A questão pede a soma x₀ + y₀ + z₀, não os valores individuais. Isso sugere que uma combinação linear das equações pode entregar essa soma de uma vez, sem resolver o sistema por completo.
sistema: -2x + 2y + z = 3
sistema: x + y - 3z = 11
sistema: 3x - y = 7
O que queremos: o valor da soma x₀ + y₀ + z₀, onde (x₀, y₀, z₀) é a solução do sistema
Para combinar equações, primeiro precisamos tê-las claras diante de nós. Vamos listar as três equações com nomes L1, L2 e L3 para facilitar a referência.
Copiar errado algum coeficiente ou sinal, como trocar -2x por 2x.
Queremos obter x + y + z. Somando L1 e L3, os termos em x e y se cancelam parcialmente, deixando exatamente essa soma. Essa é a sacada da questão: não precisamos resolver o sistema, só combinar as equações.
Por que esta fórmula: A soma de equações é válida porque, se L1 e L3 são verdadeiras, a soma delas também é. Aqui, a soma foi escolhida porque os coeficientes de x e y se cancelam de forma a sobrar x + y + z.
De onde vem cada valor: = enunciado: -2x + 2y + z = 3 · = enunciado: 3x - y = 7
Esquecer de somar os termos independentes (3 e 7) ou errar o sinal ao somar -2x com 3x.
A equação x + y + z = 10 vale para qualquer solução do sistema, inclusive para (x₀, y₀, z₀). Portanto, a soma pedida é exatamente 10.
Tentar resolver o sistema inteiro e errar nas contas, quando a combinação direta já dá a resposta.
Resposta: x₀ + y₀ + z₀ = 10 — alternativa C
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