GabaritoB — 3
Gabarito: letra B — a conta chega a N = 3 — alternativa B.
Quando dividimos um número inteiro por outro, o resto é o que sobra depois de formar o maior número possível de grupos completos. Por exemplo, 17 dividido por 5 dá 3 grupos de 5 (15) e sobram 2 — esse 2 é o resto. Aqui, o total de funcionários é um número que, dividido por 5, deixa resto 1, ou seja, é sempre 1 a mais que um múltiplo de 5.
Um número que deixa resto 1 na divisão por 5 pode ser escrito como T = 5k + 1, onde k é o número de grupos completos. A metade desse total é T/2, e queremos o resto de T/2 por 5. A chave é que T precisa ser par para que a metade seja inteira, e isso impõe uma condição sobre k: como 5k + 1 é par e 1 é ímpar, 5k deve ser ímpar, logo k é ímpar. Escrevendo k = 2m + 1, a metade vira 5m + 3, cujo resto por 5 é sempre 3.
Esta questão cobra exatamente essa manipulação: representar o total pela forma 5k + 1, impor a paridade para poder dividir por 2 e então calcular o resto da metade. O passo algébrico de substituir k por 2m + 1 é o que revela o padrão.
ao dividir o total de funcionários por 5, sobra 1
na nova tentativa, usa-se exatamente a metade do total
o resto N da nova divisão por 5 é menor que 5
O que queremos: o resto N da divisão da metade do total de funcionários por 5
O enunciado diz que, ao dividir o total por 5, sobra 1. Isso significa que o total é exatamente um múltiplo de 5 (os grupos completos) mais 1 funcionário. Representar isso com uma letra (k) é o primeiro passo para trabalhar com todos os números possíveis de uma vez, sem testar um a um.
Por que esta fórmula: Essa é a definição de resto: se T dividido por 5 dá quociente k e resto 1, então T = 5k + 1. É a forma geral de qualquer número que deixa resto 1 na divisão por 5.
De onde vem cada valor: = definição: total de funcionários · = definição: quociente da divisão por 5 · = enunciado: grupos de cinco funcionários · = enunciado: sobra um funcionário
Esquecer o +1 e escrever T = 5k, o que representaria um total que não sobra ninguém.
O problema fala em 'exatamente a metade do número de funcionários'. Para que essa metade seja um número inteiro de pessoas, o total T precisa ser par. Isso restringe quais valores de k são possíveis.
Por que esta fórmula: Um número é par se pode ser escrito como 2 vezes um inteiro. Como T = 5k + 1, e 1 é ímpar, para T ser par o termo 5k precisa ser ímpar. Como 5 é ímpar, isso só acontece se k for ímpar. Então escrevemos k = 2m + 1, onde m é um inteiro qualquer.
De onde vem cada valor: = passo 1: quociente da primeira divisão · = definição: inteiro que representa o número de pares de grupos completos · = constante: fator que garante paridade · = constante: para tornar k ímpar
Achar que k pode ser par; se k fosse par, T seria ímpar e a metade não seria inteira.
Agora que sabemos que k é ímpar, substituímos k por 2m + 1 na fórmula do total. Isso transforma T em uma expressão que mostra claramente sua paridade e prepara para dividir por 2.
Por que esta fórmula: É uma substituição direta: onde estava k, colocamos 2m + 1. Depois distribuímos a multiplicação por 5 e somamos os termos constantes.
De onde vem cada valor: = passo 1: tamanho do grupo · = passo 2: k ímpar · = passo 1: resto da primeira divisão
Errar a distributiva: 5(2m+1) = 10m + 5, não 10m + 1.
O problema pede o resto da divisão da metade do total por 5. Agora que T está escrito de forma par, dividir por 2 é simples e resulta em uma expressão que já mostra o resto.
Por que esta fórmula: Dividir por 2 é o que o enunciado pede ('exatamente a metade'). Como T = 10m + 6, dividimos cada termo por 2: 10m/2 = 5m e 6/2 = 3.
De onde vem cada valor: = passo 3: 10m + 6 · = enunciado: metade do número de funcionários
Dividir apenas um termo, esquecendo o 6; a metade de 10m + 6 é 5m + 3, não 5m + 6.
A expressão 5m + 3 já está pronta para revelar o resto: 5m é múltiplo de 5, então ao dividir por 5 sobra exatamente 3. Esse é o N procurado.
Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: é a definição de resto. Se um número é da forma 5m + r, com r entre 0 e 4, o resto da divisão por 5 é r. Aqui r = 3.
De onde vem cada valor: = passo 4: termo constante de T/2
Achar que o resto depende de m; como 5m é sempre múltiplo de 5, o resto é sempre 3, independente de m.
Resposta: N = 3 — alternativa B
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